Question

3．拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，P為線段BC上一點，過點P作y軸的平行線，交拋物線于點D，當△BDC的面積最大時，求點P的坐標；
（3）如圖2，拋物線頂點為E，EF⊥x軸于F點，點M是直線BC與EF的交點，點P是拋物線上一動點，PN∥EF交BC于點N，當點P的坐標為（2，3），（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）時，以P，E，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

分析 （1）由y=-x²+bx+c經(jīng)過點A、B、C，A（-1，0），C（0，3），利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式；
（2）首先令-x²+2x+3=0，求得點B的坐標，然后設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′，由待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式，再設(shè)P（a，3-a），即可得D（a，-a²+2a+3），即可求得PD的長，由S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB，即可得S_△BDC=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得當△BDC的面積最大時，求點P的坐標；
（3）首先求出EM的長，利用平行四邊形的性質(zhì)分別利用當N′P′=2時以及PN=2時求出即可．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{-1-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+3；

（2）令-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
即B（3，0），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b′，
則$\left\{\begin{array}{l}{b′=3}\\{3k+b′=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b′=3}\end{array}\right.$，
故直線BC的解析式為y=-x+3，
設(shè)P（a，3-a），則D（a，-a²+2a+3），
∴PD=（-a²+2a+3）-（3-a）=-a²+3a，
∴S_△BDC=S_△PDC+S_△PDB
=$\frac{1}{2}$PD•a+$\frac{1}{2}$PD•（3-a）
=$\frac{1}{2}$PD×3
=$\frac{3}{2}$（-a²+3a）
=-$\frac{3}{2}$（a-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
∴當a=$\frac{3}{2}$時，△BDC的面積最大，此時P（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）；

（3）如圖2所示：
y=-x²+2x+3
=-（x-1）²+4，
則E（1，4），
直線BC的解析式為y=-x+3，
則x=1時，y=2，
即EM=2，
當PN=2，P（x，-x²+2x+3），N（x，-x+3），
則-x²+2x+3-（-x+3）=2，
解得：x₁=1（不合題意舍去），x₂=2，
則-x²+2x+3=3，即P（2，3）；
當N′P′=2，P′（x，-x²+2x+3），N′（x，-x+3），
則（-x+3）-（-x²+2x+3）=2，
解得：x₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，
則-x+3=$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，
即P（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$），
綜上所述：符合題意點的坐標為：（2，3），（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）．
故答案為：（2，3），（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$），（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）．

點評 此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的最值問題以及平行四邊形的判定與性質(zhì)的性質(zhì)等知識．此題綜合性很強，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．