Question

5．已知：如圖，在⊙O中，AB是直徑，OD⊥AB，連接CD，過D作DE垂直于BC于E，AB=8，CD=6，求BE的長．

Answer 1

分析 連結(jié)DA、DB，如圖，根據(jù)垂徑定理得到$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，則DA=DB，∠DCA=∠DCB，再利用圓周角定理得∠ACB=∠ADB=90°，所以△ADB為等腰直角三角形，∠DCB=45°，則利用等腰直角三角形的性質(zhì)可計(jì)算出DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=3$\sqrt{2}$，DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=4$\sqrt{2}$，然后在Rt△BDE中利用勾股定理可計(jì)算出BE．

解答 解：連結(jié)DA、DB，如圖，
∵OD⊥AB，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
∴DA=DB，∠DCA=∠DCB，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∴△ADB為等腰直角三角形，∠DCB=45°，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=3$\sqrt{2}$，DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=4$\sqrt{2}$，
在Rt△BDE中，BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-（3\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{14}$．

點(diǎn)評 本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．本題的關(guān)鍵是判斷△ADB和△CDE為等腰直角三角形．