Question

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，放置一直角三角形OAB，頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0，-2），O（0，0）∠OAB=90°，∠AOB=30°，將此三角形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△OCD．若一拋物線恰好經(jīng)過O、C、D三點(diǎn)，與OB相交于點(diǎn)E．
（1）求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；
（2）連接CE，求四邊形OEC D 的面積；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使O、E、P三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形？若存在，請直接寫出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值求得OB的長，依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到CO和OD的長，然后利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得拋物線的解析式；
（2）先求得直線OB的解析式，然后將y=-$\sqrt{3}$x與y=x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x聯(lián)立，可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后依據(jù)梯形的面積公式可求得OECD的面積；
（3）當(dāng)∠POE=90°時(shí)，可先求得OP的解析式，然后可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，當(dāng)∠P′EO=90°，先求得EP′的解析式可求得點(diǎn)P′的坐標(biāo)，由OP≥OF≥OE，可知∠OPE≠90°．

解答 解：（1）∵A（0，-2），O（0，0），
∴OA=2．
∵∠OAB=90°，∠AOB=30°，OA=2，
∴OB=OA÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：OD=OB=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，OC=OA=2，∠AOB=∠COD=30°．
∴D（$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，0），點(diǎn)C的橫坐標(biāo)=cos30°•OC×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)=sin30°•OC=1．
∴C（$\sqrt{3}$，-1）．
設(shè)拋物線的解析式為y=ax（x-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：$\sqrt{3}$（$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）a=-1，解得：a=1．
∴拋物線的解析式為y=x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x．

（2）∵∠AOB=30°，且OB經(jīng)過二四象限，
∴k=-$\sqrt{3}$．
∴直線OB的解析式為y=-$\sqrt{3}$x．
將y=-$\sqrt{3}$x與y=x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x聯(lián)立，解得：x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，y=-1．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-1）．
∴CE∥x軸．
∵EC=$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，梯形的高=1，
∴四邊形OECD 的面積=$\frac{1}{2}$×（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）×1=$\sqrt{3}$．

（3）如圖1所示：

∵OE⊥OP，OE的解析式為y=-$\sqrt{3}$x，
∴直線OP的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
由拋物線的對稱軸方程可知x=-$\frac{2a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
將x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$代入拋物線的解析式得：y=$\frac{2}{3}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{3}$）．
設(shè)直線EP′的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b，將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入得：$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$+b=-1，解得b=-$\frac{4}{3}$．
∴直線EP′的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{4}{3}$．
將x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$代入得：y=-$\frac{2}{3}$．
∴點(diǎn)P′的坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．
∵OP≥OF≥OE，
∴∠OPE≠90°．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2}{3}$）或（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，-$\frac{2}{3}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、特殊銳角三角函數(shù)值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．