Question

7．當(dāng)m，n是實(shí)數(shù)且滿足m-n=mn時，就稱點(diǎn)Q（m，$\frac{m}{n}}$）為“奇異點(diǎn)”，已知點(diǎn)A、點(diǎn)B是“奇異點(diǎn)”且都在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，點(diǎn)O是平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，則△OAB的面積為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)A（a，$\frac{a}$），利用新定義得到a-b=ab，再利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到a•$\frac{a}$=2，a-$\frac{{a}^{2}}{2}$=a³，則可解得a和b的值，所以A（-2，-1），B（1，2），接著利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式．從而得到直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算△OAB的面積．

解答 解：設(shè)A（a，$\frac{a}$），
∵點(diǎn)A是“奇異點(diǎn)”，
∴a-b=ab，
∵a•$\frac{a}$=2，則b=$\frac{{a}^{2}}{2}$，
∴a-$\frac{{a}^{2}}{2}$=a³，
而a≠0，整理得a²+a-2=0，解得a₁=-2，a₂=1，
當(dāng)a=-2時，b=2；當(dāng)a=1時，b=$\frac{1}{2}$，
∴A（-2，-1），B（1，2），
設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，
把A（-2，-1），B（1，2）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=-1}\\{m+n=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
∴△OAB的面積=$\frac{1}{2}$×1×（2+1）=$\frac{3}{2}$．
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象中任取一點(diǎn)，過這一個點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值|k|，在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不變．