Question

18．利用勾股定理，可以作出長(zhǎng)為$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$、…的線段，如圖：在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，則AC的長(zhǎng)等于$\sqrt{5}$．在按同樣的方法，可以在數(shù)軸上畫出表示$\sqrt{2}$、$\sqrt{3}$、$\sqrt{5}$、…的點(diǎn)．
（1）在數(shù)軸上作出表示-$\sqrt{2}$的點(diǎn)（尺規(guī)作圖，保留痕跡）．
（2）在數(shù)軸上作出表示$\sqrt{3}$的點(diǎn)（尺規(guī)作圖，保留痕跡）．

Answer 1

分析 利用勾股定理直接計(jì)算即可求出AC的長(zhǎng)；
（1）作邊長(zhǎng)為1的正方形ABOC，連接OA，以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧交數(shù)軸的負(fù)半軸于D，即可得到答案．
（2）$\sqrt{3}$可以看作兩直角邊長(zhǎng)分別為1，$\sqrt{2}$的直角三角形的斜邊長(zhǎng)；而$\sqrt{2}$又可以看作兩直角邊長(zhǎng)分別為1，1的直角三角形的斜邊長(zhǎng)．

解答 解：∵在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，
∴AC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
（1）如圖所示：-$\sqrt{2}$所在的點(diǎn)的位置是D．

（2）如圖所示：

①作一個(gè)等腰直角三角形，使其兩直角邊都是1，則斜邊為$\sqrt{2}$；
②作一個(gè)直角三角形，使其兩直角邊分別為1，$\sqrt{2}$，則斜邊為$\sqrt{3}$；
③在數(shù)軸上，以原點(diǎn)O為圓心，$\sqrt{3}$為半徑畫弧，與數(shù)軸正半軸交于點(diǎn)A．
則點(diǎn)A就是所求的點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能正確畫圖是解此題的關(guān)鍵．