Question

15．問(wèn)題探究
（1）如圖①，邊長(zhǎng)為4的等邊△OAB位于平面直角坐標(biāo)系中，將△OAB沿過(guò)P（2，$\sqrt{3}}$）的直線折疊，使點(diǎn)B落在x軸上，則B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'有1個(gè)，其坐標(biāo)為（2，0）；
（2）如圖②，長(zhǎng)方形OABC位于平面直角坐標(biāo)系中，其中OA=8，AB=6．將長(zhǎng)方形OABC沿過(guò)P（8，2）的直線折疊，使點(diǎn)B落在x軸上，則B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（8-2$\sqrt{3}$，0）或（8+2$\sqrt{3}$，0）．
問(wèn)題解決
（3）如圖③，四邊形OABC位于平面直角坐標(biāo)系中，其中OA=AB=8，BC=4，BC∥OA，AB⊥OA于點(diǎn)A．將四邊形OABC沿過(guò)P（5，3）的直線折疊，使點(diǎn)B落在x軸上，問(wèn)是否存在過(guò)點(diǎn)P且與線段OC相交的折痕，若存在，求出折痕與OC的交點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，作BH⊥OA于H．只要證明點(diǎn)P在線段BH上，且PB=PH=$\sqrt{3}$，由此得出結(jié)論點(diǎn)B′與點(diǎn)H重合，即可解決問(wèn)題．
（2）如圖2中，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)有B′和B″兩個(gè)，分別利用勾股定理即可解決問(wèn)題．
（3）存在．求出直線OC的解析式，再求出折痕的解析式，利用方程組即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，作BH⊥OA于H．

∵△ABC是等邊三角形，OA=OB=AB=4，
∴OH=AH=2，BH=OH•tan60°=2$\sqrt{3}$，
∵P（2，$\sqrt{3}$），
∴點(diǎn)P在線段PH上，且PB=PH，
∵將△OAB沿過(guò)P（2，$\sqrt{3}}$）的直線折疊，使點(diǎn)B落在x軸上，
∴PB=PB′，
∴點(diǎn)B′與點(diǎn)H重合，
∴B′（2，0），
故答案為1，（2，0）；

（2）如圖2中，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)有B′和B″兩個(gè)，

∵PB=PB′=PB″=4，
在Rt△PAB′和Rt△PAB″中，AB′=AB″=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴B′（8-2$\sqrt{3}$，0），B″（8+2$\sqrt{3}$，0）；
故答案為（8-2$\sqrt{3}$，0）或（8+2$\sqrt{3}$，0）；

（3）存在．理由如下：
如圖3中，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)有B′和B″兩個(gè)，作PE⊥AB于E，PF⊥OA于F．

∵P（5，3），
∴PF=3，OF=5，AF=PE=AE=3，BE=5，
∵PB=PB′=PB″，PE=PF，
∴△PBE≌△PB′F≌△PB″F，
∴FB′=FB″=EB=5，
∴B′與O重合，B″（10，0），
∵C（4，8），
∴直線OC的解析式為y=2x，
∵B（8，8），
∴直線OB的解析式為y=x，設(shè)折痕與OC交于點(diǎn)G，與BB′交于點(diǎn)H，
∵H（4，4），
∴直線GH的解析式為y=-x+8，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=-x+8}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{3}}\\{y=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
∴折痕GH與OC的交點(diǎn)G坐標(biāo)（$\frac{8}{3}$，$\frac{16}{3}$），
∵B（8，8），B″（10，0），
∴直線BB″的解析式為y=-4x+40，設(shè)折痕與OC交于點(diǎn)N，與BB″交于點(diǎn)M，
∵M(jìn)（9，4），
∴直線MN的解析式為y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{7}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2x}\\{y=\frac{1}{4}x+\frac{7}{4}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴折痕MN與OC的交點(diǎn)N坐標(biāo)為（1，2）．
綜上所述，折痕與OC的交點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{8}{3}$，$\frac{16}{3}$）或（1，2）；

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何變換、等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理、一次函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中考?jí)狠S題．