Question

15．（1）如圖1，∠MAN=90°，射線AD在這個(gè)角的內(nèi)部，點(diǎn)B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AD于點(diǎn)F，BE⊥AD于點(diǎn)E．求證：BE=AF 
（2）如圖2，點(diǎn)B、C分別在∠MAN的邊AM、AN上，點(diǎn)E、F都在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，且∠1=∠2=∠BAC．（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．
（3）如圖3，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC．點(diǎn)D在邊BC上，CD=2BD，點(diǎn)E、F在線段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面積為15，求△ACF與△BDE的面積之和．

Answer 1

分析 （1）如圖1，根據(jù)AAS證明△BAE≌△ACF，得BE=AF；
（2）如圖2，結(jié)論仍然成立；先根據(jù)已知角的關(guān)系得：∠ABE=∠CAF，∠BAE=∠ACF，根據(jù)ASA證明△BAE≌△ACF，得BE=AF；
（3）如圖3，先證明△BAE≌△ACF，則S_△BAE=S_△ACF，由CD=2BD得：S_△ABD=$\frac{1}{2}$S_△ABC，從而得出結(jié)論．

解答 證明：（1）如圖1，∵∠MAN=90°，
∴∠BAE+∠CAF=90°，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BEA=∠AFC=90°，
∴∠BAE+∠EBA=90°，
∴∠CAF=∠EBA，
∵AB=AC，
∴△BAE≌△ACF，
∴BE=AF；
（2）如圖2，（1）中結(jié)論仍然成立，理由是：
∵∠1=∠BAE+∠ABE，∠1=∠BAC，
∴∠BAC=∠BAE+∠ABE，
∵∠BAC=∠BAE+∠CAF，
∴∠ABE=∠CAF，
∵∠1=∠BAE+∠ABE，∠2=∠CAF+∠ACF，∠1=∠2，
∴∠BAE=∠ACF，
∵AB=AC，
∴△BAE≌△ACF，
∴BE=AF；
（3）如圖3，∵∠2=∠DAC+∠ACF，∠2=∠BAC，
∴∠BAC=∠DAC+∠ACF，
∵∠BAC=∠BAE+∠DAC，
∴∠BAE=∠ACF，
∵∠1=∠BAE+∠ABE，∠2=∠DAC+∠ACF，∠1=∠2，
∴∠ABE=∠DAC，
∵AB=AC，
∴△BAE≌△ACF，
∴S_△BAE=S_△ACF，
∵CD=2BD，S_△ABC=15，
∴S_△ABD=$\frac{1}{3}$×15=5，
∴S_△ACF+S_△BDE=S_△BAE+S_△BDE=S_△ABD=5．
則△ACF與△BDE的面積之和為5．

點(diǎn)評 此題是三角形的綜合題，難度適中；考查了三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形面積的求法，本題的關(guān)鍵是根據(jù)各自的條件證明△BAE≌△ACF，同時(shí)在同高三角形中，明確底邊的比就是對應(yīng)面積的比．