Question

11．如圖，在正方形ABCD中，點E在AB上，F(xiàn)是AD延長線上一點，且DF=BE，點G在AD上，且∠ECG=45°．
（1）觀察圖形，結(jié)合已知條件試找出圖中的全等三角形，并說明你是如何推理出來的．
（2）GE、BE、DG的關(guān)系怎樣，為什么？

Answer 1

分析 （1）先利用“ASA”證明△BCE≌△DCG，則CE=CF，∠BCE=∠DCF，再證明∠GCF=∠ECG=45°，然后根據(jù)“SAS”證明△ECG≌△FCG；
（2）利用△ECG≌△FCG得到EG=GF，所以GE=GD+DF=BE+DG．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB=CD，∠B=∠ADC=∠BCD=90°，
在△BCE和△DCG中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DF}\\{∠B=∠CDF}\\{CB=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCG（SAS）；
∴CE=CF，∠BCE=∠DCF，
∵∠BCE+∠ECD=90°，
∴∠ECD+∠DCF=90°，即∠ECF=90°，
∵∠ECG=45°，
∴∠GCF=∠ECG=45°，
在△ECG和△FCG中
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}\\{∠GCE=∠GCF}\\{CG=CG}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△FCG（SAS）；
（2）∵△ECG≌△FCG，
∴EG=GF，
∴GE=GD+DF，
而DF=BE，
∴GE=BE+DG．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．