Question

3．如圖，在Rt△AOB中，∠ABO=30°，BO=4，分別以O(shè)A、OB邊所在的直線建立平面直角坐標(biāo)系，D點(diǎn)為x軸正半軸上的一點(diǎn)，以O(shè)D為一邊在第一象限內(nèi)作等邊△ODE．
（Ⅰ）如圖①當(dāng)E點(diǎn)恰好落在線段AB上時(shí)，求E點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）若點(diǎn)D從原點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)D到原點(diǎn)的距離為x，△ODE與△AOB重疊部分的面積為y，當(dāng)E點(diǎn)到達(dá)△AOB的外面，且點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，寫(xiě)出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅰ）問(wèn)的條件下，將△ODE在線段OB上向右平移如圖②，圖中是否存在一條與線段OO′始終相等的線段？如果存在，請(qǐng)直接指出這條線段；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意作輔助線，作EH⊥OB于點(diǎn)H，由BO=4，求得OE，然后求出OH，EH，從而得出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)題意，當(dāng)E點(diǎn)到達(dá)△AOB的外面，且點(diǎn)D在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，2＜x＜4即可；
（3）假設(shè)存在，由OO′=4-2-DB，而DF=DB，從而得到OO′=EF；

解答 解：（1）作EH⊥OB于點(diǎn)H，
∵△OED是等邊三角形，
∴∠EOD=60°．
又∵∠ABO=30°，
∴∠OEB=90°．
∵BO=4，
∴OE=$\frac{1}{2}$OB=2．
∵△OEH是直角三角形，且∠OEH=30°
∴OH=1，EH=$\sqrt{3}$，
∴E（1，$\sqrt{3}$）．
（2）當(dāng)2＜x＜4，符合題意，
如圖，

所求重疊部分四邊形OD′NE的面積為：
S_△OD′E-S_△E′EN=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x₂-$\frac{1}{2}$E′E×EN
=$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²-$\frac{x-2}{2}$×$\sqrt{3}$（x-2）
=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$x²+2$\sqrt{3}$x-2$\sqrt{3}$
（3）存在線段EF=OO'．
∵∠ABO=30°，∠EDO=60°
∴∠ABO=∠DFB=30°，
∴DF=DB．
∴OO′=4-2-DB=2-DB=2-DF=ED-FD=EF

點(diǎn)評(píng) 此題是幾何變換綜合題，主要考查利用三角函數(shù)求線段長(zhǎng)度，動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是中考的重點(diǎn)內(nèi)容，此題難度較大．