Question

20．如圖，在四邊形OABC中，AB∥OC，OA=BC，點B，C的坐標分別為（4，8），（6，0），E為BC上一點，且BE=3CE，過點B作BD⊥x軸于點D．雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過點E，且交BD于點F．
（1）求k的值及點F的坐標；
（2）求四邊形OABC的面積．

Answer 1

分析 （1）過E作EH⊥OC于H，設(shè)E（m，$\frac{k}{m}$），由已知條件得到CH=6-m，根據(jù)EH∥BD，得到$\frac{CH}{CD}=\frac{CE}{BC}$=$\frac{EH}{8}$，求得E（$\frac{11}{2}$，2），由于雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過點E，于是得到k=11，由OD=4，得到點F的橫坐標為4，即可得到F（4，$\frac{11}{4}$）；
（2）根據(jù)等腰梯形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵點B，C的坐標分別為（4，8），（6，0），
∴BD=8，OD=4，OC=6，
∴CD=2，BC=$\sqrt{B{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
過E作EH⊥OC于H，
設(shè)E（m，$\frac{k}{m}$），則CH=6-m，
∵BD⊥OC，
∴EH∥BD，
∴$\frac{CH}{CD}=\frac{CE}{BC}$=$\frac{EH}{8}$，
即$\frac{6-m}{2}=\frac{1}{4}$，
∴m=$\frac{11}{2}$，EH=2，
∴E（$\frac{11}{2}$，2），
∵雙曲線y=$\frac{k}{x}$（x＞0）經(jīng)過點E，
∴k=11，
∵OD=4，
∴點F的橫坐標為4，
∴DF=$\frac{11}{4}$，
∴F（4，$\frac{11}{4}$）；

（2）∵四邊形OABC是等腰梯形，
∴AB=OC-2CD=2，
∴S_{四邊形OABC}=$\frac{1}{2}$（2+6）×8=32．

點評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，等腰梯形的面積的計算，平行線分線段成比例定理，掌握的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．