Question

5．已知拋物線y=a（x-h）²-2（a，h，是常數(shù)，a≠0），x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)M為拋物線頂點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)A（-1，0），B（5，0），求拋物線的解析式；
（Ⅱ）若點(diǎn)A（-1，0），且△ABM是直角三角形，求拋物線的解析式；
（Ⅲ）若拋物線與直線y₁=x-6相交于M、D兩點(diǎn)
①用含a的式子表示點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②當(dāng)CD∥x軸時(shí)，求拋物線的解析式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用對(duì)稱性得到拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，然后把A點(diǎn)坐標(biāo)代入y=a（x-2）²-2中求出a即可得到拋物線解析式；
（Ⅱ）易得△ABM是等腰直角三角形，M（h，-2），根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高等于斜邊的一半得AB=4，于是得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，0）或（3，0），把A（-1，0），B（-5，0）代入y=a（x-h）²-2得$\left\{\begin{array}{l}{a（-1-h）^{2}-2=0}\\{a（-5-h）^{2}-2=0}\end{array}\right.$，或把A（-1，0），B（3，0）代入y=a（x-h）²-2得$\left\{\begin{array}{l}{a（-1-h）^{2}-2=0}\\{a（3-h）^{2}-2=0}\end{array}\right.$，然后分別解方程組求出對(duì)應(yīng)的a和h的值即可；
（Ⅲ）①利用一次函數(shù)解析式求出M（4，-2），再通過解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=a（x-4）^{2}-2}\\{y=x-6}\end{array}\right.$得D點(diǎn)坐標(biāo)；
②先表示出C（0，16a-2），利用CD∥x軸得到C點(diǎn)和D點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等得到關(guān)于a的方程，然后解方程求出a即可得到拋物線解析式．

解答 解：（Ⅰ）∵拋物線過點(diǎn)A（-1，0），B（5，0）
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，
把A（-1，0）代入y=a（x-2）²-2得a（-1-2）²-2=0，解得a=$\frac{2}{9}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{2}{9}$（x-2）²-2；
（Ⅱ）∵點(diǎn)A與點(diǎn)B為對(duì)稱點(diǎn)，
∴△ABM是等腰直角三角形，
而M（h，-2），
∴AB=2×|-2|=4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，0）或（3，0），
把A（-1，0），B（-5，0）代入y=a（x-h）²-2得$\left\{\begin{array}{l}{a（-1-h）^{2}-2=0}\\{a（-5-h）^{2}-2=0}\end{array}\right.$，解得h=-3，a=$\frac{1}{2}$，此時(shí)拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$（x+3）²-2；
把A（-1，0），B（3，0）代入y=a（x-h）²-2得$\left\{\begin{array}{l}{a（-1-h）^{2}-2=0}\\{a（3-h）^{2}-2=0}\end{array}\right.$，解得h=1，a=$\frac{1}{2}$，此時(shí)拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-2；
（Ⅲ）①把M（h，-2）代入y=x-6得h-6=-2，解得h=4，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=a（x-4）^{2}-2}\\{y=x-6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4a+1}{a}}\\{y=\frac{1-2a}{a}}\end{array}\right.$，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{4a+1}{a}$，$\frac{1-2a}{a}$）；
②當(dāng)x=0時(shí)，y=a（0-4）²-2=16a-2，則C（0，16a-2），
∵CD∥x軸，
∴$\frac{1-2a}{a}$=16a-2，解得a=±$\frac{1}{4}$，
當(dāng)a=-$\frac{1}{4}$時(shí)，C、D兩點(diǎn)重合，舍去，
∴a=$\frac{1}{4}$
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{4}$（x-4）²-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．也考查了拋物線與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題和等腰直角三角形的性質(zhì)．