Question

6．如圖，已知點A（$\frac{1}{2}$k+1，-k-3）、B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（|k|＞3）上，作等腰直角三角形△BCD，點F為斜邊BD的中點，連FC并延長交y軸于點E．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）△DCE的面積是多少？
（3）若點A在直線BD上，請求出直線BD的解析式．

Answer 1

分析 （1）把A（$\frac{1}{2}$k+1，-k-3）代入y=$\frac{k}{x}$（|k|＞3），即可求得k的值，從而求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)B（a，-$\frac{6}{a}$），根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義和等腰直角三角形的性質(zhì)求得DC=BC=-$\frac{6}{a}$，OE=OC=-a，然后根據(jù)三角形面積公式求得即可；
（3）求得A的坐標(biāo)，根據(jù)等腰直角三角形求得直線BD的斜率，設(shè)直線BD為y=x+b，代入A的坐標(biāo)，即可求得b的值．

解答 解：（1）∵點A（$\frac{1}{2}$k+1，-k-3）在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（|k|＞3）上，
∴-k-3=$\frac{k}{\frac{1}{2}k+1}$，
解得：k₁=-1，k₂=-6，
∵|k|＞3，
∴k=-6，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{6}{x}$；
（2）∵△BCD是等腰直角三角形，點F為斜邊BD的中點，
∴CF平分∠BCD，
∴∠DCF=45°，
∴∠ECO=∠DCF=45°，
∴△COE是等腰直角三角形，
∴OE=OC，
設(shè)B（a，-$\frac{6}{a}$），
∴DC=BC=-$\frac{6}{a}$，OE=OC=-a，
∴△DCE的面積為=$\frac{1}{2}$DC•OE=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{6}{a}$）×（-a）=3；
（3）∵k=-6，
∴A（-2，3），
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴直線BD的斜率為1，
設(shè)直線BD為y=x+b，
∵點A在直線BD上，
∴3=-2+b，
解得b=5，
∴直線BD的解析式為y=x+5．

點評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，等腰直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是證明△COE是等腰直角三角形．