Question

4．如圖，已知AB∥CD，CE、BE的交點為E，現(xiàn)作如下操作：
第一次操作，分別作∠ABE和∠DCE的平分線，交點為E₁，
第二次操作，分別作∠ABE₁和∠DCE₁的平分線，交點為E₂，
第三次操作，分別作∠ABE₂和∠DCE₂的平分線，交點為E₃，…，

第n次操作，分別作∠ABE_n-1和∠DCE_n-1的平分線，交點為E_n．
（1）如圖①，求證：∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）如圖②，求證：∠BE₂C=$\frac{1}{4}$∠BEC；
（3）猜想：若∠E_n=α度，那∠BEC等于多少度？（直接寫出結論）．

Answer 1

分析 （1）先過E作EF∥AB，根據(jù)AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根據(jù)平行線的性質，得出∠B=∠1，∠C=∠2，進而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；
（2）先根據(jù)∠ABE和∠DCE的平分線交點為E₁，運用（1）中的結論，得出∠CE₁B=∠ABE₁+∠DCE₁=$\frac{1}{2}$∠ABE+$\frac{1}{2}$∠DCE=$\frac{1}{2}$∠BEC；同理可得∠BE₂C=∠ABE₂+∠DCE₂=$\frac{1}{2}$∠ABE₁+$\frac{1}{2}$∠DCE₁=$\frac{1}{2}$∠CE₁B=$\frac{1}{4}$∠BEC；
（3）根據(jù)∠ABE₂和∠DCE₂的平分線，交點為E₃，得出∠BE₃C=$\frac{1}{8}$∠BEC；…據(jù)此得到規(guī)律∠E_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠BEC，最后求得∠BEC的度數(shù)．

解答 解：（1）如圖①，過E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2，
∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；

（2）如圖2，∵∠ABE和∠DCE的平分線交點為E₁，
∴由（1）可得，
∠CE₁B=∠ABE₁+∠DCE₁=$\frac{1}{2}$∠ABE+$\frac{1}{2}$∠DCE=$\frac{1}{2}$∠BEC；
∵∠ABE₁和∠DCE₁的平分線交點為E₂，
∴由（1）可得，
∠BE₂C=∠ABE₂+∠DCE₂=$\frac{1}{2}$∠ABE₁+$\frac{1}{2}$∠DCE₁=$\frac{1}{2}$∠CE₁B=$\frac{1}{4}$∠BEC；

（3）如圖2，∵∠ABE₂和∠DCE₂的平分線，交點為E₃，
∴∠BE₃C=∠ABE₃+∠DCE₃=$\frac{1}{2}$∠ABE₂+$\frac{1}{2}$∠DCE₂=$\frac{1}{2}$∠CE₂B=$\frac{1}{8}$∠BEC；
…
以此類推，∠E_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠BEC，
∴當∠E_n=α度時，∠BEC等于2ⁿα度．

點評 本題主要考查了角平分線的定義以及平行線性質：兩直線平行，內(nèi)錯角相等的運用．解決問題的關鍵是作平行線構造內(nèi)錯角，解題時注意：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線叫做這個角的平分線．