Question

3．如圖，在等腰Rt△ABC中，AB=AC，D為斜邊BC的中點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE=8，CF=6．
（1）判斷△DEF的形狀，并說明理由；
（2）求△DEF的面積．

Answer 1

分析 （1）連接AD，首先利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，AD=CD=BD，從而得到∠CDF=∠ADE，然后利用ASA證得DCF≌△ADE后即可證得DF=DE，最后得出△DEF的形狀為等腰直角三角形；
（2）由（1）知AE=CF，AF=BC，DE=DF，在Rt△AEF中，運(yùn)用勾股定理可將EF²的值求出，進(jìn)而可求出DE²的值，代入S_△EDF=$\frac{1}{2}$DE²進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）連接AD，
∵AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，AD=CD=BD，∠DAE=45°=∠C，
∵DE⊥DF，
∴∠CDF+∠ADF=∠EDA+∠ADF，
即∠CDF=∠ADE，
在△DCF和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠DAE}\\{CD=AD}\\{∠CDF=∠ADE}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△ADE（ASA），
∴DF=DE，
又∵DE⊥DF，
∴△DEF為等腰直角三角形；

（2）由△DCF≌△ADE可得：AE=CF=6，
∴AF=BE=8．
∵∠EAF=90°，
∴EF²=AE²+AF²=6²+8²=100，
又∵△DEF為等腰直角三角形，
∴DE²+DF²=EF²=100，即2DE²=100，
∴DE²=50，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$×DE×DF=$\frac{1}{2}$×DE²=25．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了等腰直角三角形想的性質(zhì)、三角形全等的判定以及勾股定理的綜合運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是連接AD，構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等進(jìn)行求解．