Question

19．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，射線AM平分∠BAC，AB=8，cos∠ACB=$\frac{3}{5}$，點P為射線AM上一點，且PB=PC，則四邊形ABPC的面積為49．

Answer 1

分析 設AC=3k，BC=5k，根據(jù)勾股定理得到AB=4k，得到BC=10，AC=6，過P作PE⊥AB于E，PF⊥于F，求得四邊形AEPF是矩形，證得矩形AEPF是正方形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=CF，于是得到結(jié)論．

解答 解：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，cos∠ACB=$\frac{3}{5}$，
∴設AC=3k，BC=5k，
∴AB=4k，
∴k=2，
∴BC=10，AC=6，
過P作PE⊥AB于E，PF⊥于F，
∴四邊形AEPF是矩形，
∵射線AM平分∠BAC，
∴PE=PF，
∴矩形AEPF是正方形，
在Rt△PBE與Rt△PFC中$\left\{\begin{array}{l}{PB=PC}\\{PE=PF}\end{array}\right.$，
∴Rt△PBE≌Rt△PFC，
∴BE=CF，
∴AE=AF=7，
∴四邊形ABPC的面積=正方形AEPF的面積=7×7=49，
故答案為：49．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，角平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．