Question

如圖，在△ADC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE、AF分別是∠ABC、∠DAC的平分線，BE和AD交于G，求證：GF∥AC．

Answer 1

分析：從角的角度證明困難，連接EF，在四邊形AGFE的背景下思考問題，證明四邊形AGFE為特殊平行四邊形，證題的關(guān)鍵是能分解出直角三角形中的基本圖形．

解答：證明：連接EF．
∵∠BAC=90°，AD⊥BC．
∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．
∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C．
∵BE、AF分別是∠ABC、∠DAC的平分線．
∴∠ABG=∠EBD．
∵∠AGE=∠GAB+∠GBA，∠AEG=∠C+∠EBD，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AG=AE，
∵AF是∠DAC的平分線，
∴AO⊥BE，GO=EO，
∵

∠ABO=∠FBO BO=BO ∠AOB=∠FOB=90°

∴△ABO≌△FBO，
∴AO=FO，
∴四邊形AGFE是平行四邊形，
∴GF∥AE，
即GF∥AC．

點評：此題主要考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的綜合運用．