Question

如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點O又是正方形A₁B₁C₁O的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等．試證明：無論正方形A₁B₁C₁O繞點O怎樣轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的

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Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：分兩種情況探討：（1）當(dāng)正方形A₁B₁C₁O邊與正方形ABCD的對角線重合時；（2）當(dāng)轉(zhuǎn)到一般位置時，由題求證△AEO≌△BOF，故兩個正方形重疊部分的面積等于三角形ABO的面積，得出結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)正方形繞點OA₁B₁C₁O繞點O轉(zhuǎn)動到其邊OA₁，OC₁分別于正方形ABCD的兩條對角線重合這一特殊位置時，
顯然S_{兩個正方形重疊部分}=

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S_{正方形ABCD}；
（2）當(dāng)正方形繞點OA₁B₁C₁O繞點O轉(zhuǎn)動到如圖位置時．
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠OAB=∠OBF=45°，OA=OB
BO⊥AC，即∠AOE+∠EOB=90°，
又∵四邊形A′B′C′O為正方形，
∴∠A′OC′=90°，即∠BOF+∠EOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF，
在△AOE和△BOF中，

∠AOE=∠BOF AO=BO ∠OAE=∠OBF

，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∵S_{兩個正方形重疊部分}=S_△BOE+S_△BOF，
又S_△AOE=S_△BOF
∴S_{兩個正方形重疊部分}=S_ABO=

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S_{正方形ABCD}．
綜上所知，無論正方形A₁B₁C₁O繞點O怎樣轉(zhuǎn)動，兩個正方形重疊部分的面積，總等于一個正方形面積的

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點評：此題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形的面積等知識點．