Question

6．已知，△ABC為直角三角形，∠ACB=90°，點P是射線CB上一點（點P不與點B、C重合），線段AP繞點A順時針旋轉90°得到線段AQ，連接QB交射線AC于點M．
（1）如圖①，當AC=BC，點P在線段CB上時，線段PB、CM的數(shù)量關系是PB=2CM；
（2）如圖②，當AC=BC，點P在線段CB的延長線時，（1）中的結論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，請說明理由．
（3）如圖③，若$\frac{AC}{BC}=\frac{5}{2}$，點P在線段CB的延長線上，CM=2，AP=13，求△ABP的面積．

Answer 1

分析 解法一、（1）作出△ABC繞點A順時針旋轉90°，利用旋轉的性質，和等腰三角形的性質再用中位線即可；
（2）作出△ABC繞點A順時針旋轉90°，利用旋轉的性質，和等腰三角形的性質，再用中位線即可；
（3）同（1）（2）的方法作出輔助線，利用平行線中的基本圖形“A”得出比例式，用勾股定理求出x，最后用三角形的面積公式即可．
解法二、（1）先判斷出△AQN≌△PAC，進而判斷出△QNM≌△BCM即可得出結論；
（2）同（1）的方法，即可得出結論；
（3）同（1）的方法得出△AQN≌△PAC，再判斷出△BCM∽△QNM，進而求出MN，最后同解法一即可求出面積

解答 解法一：（1）如圖1，

將△ABC繞點A順時針旋轉90°，得到△AB'C'，
∴B'Q=BP，AB'=AB，
連接BB'，
∵AC⊥BC，
∴點C在BB'上，且CB'=CB，
依題意得，∠C'B'B=90°，
∴CM∥B'C'，而CB'=CB，
∴2CM=B'Q，
∵BP=B'Q，
∴BP=2CM，
故答案為：BP=2CM；
（2）BP=2CM仍然成立，
理由：如圖2，

將△ABC繞點A順時針旋轉90°，得到△AB'C'，連接B'Q，
∴B'Q=BP，AB'=AB，
連接BB'，
∵AC⊥BC，
∴點C在BB'上，且CB'=CB，
依題意得，∠C'B'B=90°，
∴CM∥B'C'，而CB'=CB，
∴2CM=B'Q，
∵BP=B'Q，
∴BP=2CM，
（3）如圖3，

設BC=2x，則AC=5x，
將△ABC繞點A順時針旋轉90°，得到△AB'C'，連接B'Q，
∴BC=B'C'，B'Q=BP，AC=AC'
延長BC交C'Q于N，
∴四邊形ACNC'是正方形，
∴C'N=CN=AC=5x，
∴BN=CN+BC=7x
∵CM∥QN，
∴$\frac{CM}{QN}=\frac{BC}{BN}$
∵CM=2，
∴$\frac{2}{QN}=\frac{2x}{7x}$
∴QN=7，
∴BP=B'Q=C'N+QN-B'C'=5x+7-2x=3x+7，
∴PC=BC+BP=2x+3x+7=5x+7，
在Rt△ACP中，AC=5x，PC=5x+7，AP=13，
根據(jù)勾股定理得，（5x）²+（5x+7）²=13²
∴x=1或x=-$\frac{12}{5}$（舍），
∴BP=3x+7=10，AC=5x=5，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$BP×AC=$\frac{1}{2}$×10×5=25，
解法二，

（1）如圖1，過點Q作QN⊥AM于N，
易證，△AQN≌△PAC，
∴AN=CP，QN=AC，
∵∠QNM=∠BCM，∠NMQ=∠CMB，
∴△QNM≌△BCM，
∴MN=CM，
∴BP=BC-CP=AC-AC=CN=2CM，
（2）如圖2，過點Q作QN⊥AM于N，
同（1）的方法，得出BP=2CM，
（3）如圖3，過點Q作QN⊥AM于N，
設AC=5x，BC=2x，
同（1）的方法得出，△AQN≌△BAC，
∴QN=AC=5x，AN=CP，
易得，△BCM∽△QNM，
∴$\frac{BC}{QN}=\frac{CM}{MN}$，
∴$\frac{2x}{5x}=\frac{2}{MN}$，
∴MN=5，
∴CP=AN=AC+CM+MN=5x+2+5=5x+7，
在Rt△ACP中，AC=5x，PC=5x+7，AP=13，
根據(jù)勾股定理得，（5x）²+（5x+7）²=13²
∴x=1或x=-$\frac{12}{5}$（舍），
∴BP=3x+7=10，AC=5x=5，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$BP×AC=$\frac{1}{2}$×10×5=25，

點評 此題是幾何變換綜合題，主要考查了等腰直角三角形和直角三角形的性質，旋轉的性質，中位線的性質，解本題的關鍵是作出輔助線，也是本題的難點．