Question

14．已知，如圖，△ABC的中線BE，CF相交于點G，P，Q分別是BG，CG的中點．求證：
（1）四邊形EFPQ是平行四邊形；
（2）BG=2GE，CG=2GF．

Answer 1

分析 （1）證明EF是△ABC的中位線，PQ是△BCG的中位線，由三角形中位線定理即可得出EF∥PQ，EF=PQ，即可得出結論；
（2）由平行四邊形的性質得出對角線互相平分GE=GP，GF=GQ，即可得出結論．

解答 證明：（1）∵BE，CF是△ABC的中線，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC，
∵P，Q分別是BG，CG的中點，
∴PQ是△BCG的中位線，BG=2GP，CG=2GQ，
∴PQ∥BC且PQ=$\frac{1}{2}$BC，
∴EF∥PQ且EF=PQ，
∴四邊形EFPQ是平行四邊形．
（2）由（1）得：四邊形EFPQ是平行四邊形，
∴GE=GP，GF=GQ，
∵BG=2GP，CG=2GQ，
∴BG=2GE，CG=2GF．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質、三角形的中位線定理；熟練掌握平行四邊形的判定與性質，證明三角形中位線是解決問題的關鍵．