Question

8．如圖，拋物線y=ax²-3ax-2與x軸交于A、B，與y軸交于C，連AC、BC，∠ABC=∠ACO．
（1）求拋物線的解析式．
（2）設(shè)P為線段OB上一點(diǎn)，過P作PN∥BC交OC于N，設(shè)線PN為y=kx+m，將△PON沿PN折疊，得△PNM，點(diǎn)M恰好落在第四象限的拋物線上，求m的值．
（3）CE平分∠ACB交拋物線的對稱軸于E，連AE，在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使∠APC＞∠AEC，若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x_p的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，由△AOC∽△COB，得$\frac{OA}{CO}$=$\frac{CO}{OB}$，得OA•OB=OC²=4，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系即可解決問題．
（2）如圖2中，首先證明OM⊥BC，求出直線OM的解析式，利用方程組求出點(diǎn)M坐標(biāo)，再求出PN的解析式即可解決問題．
（3）如圖3中，CE交AB于M，作MG⊥AC于G，MH⊥BC于H，連接EB．對稱軸與x軸交于點(diǎn)K．首先證明E、A、C、B四點(diǎn)共圓，圓心為K，⊙K與拋物線在第四象限的交點(diǎn)為F．觀察圖象即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，設(shè)A（m，0），B（n，0），

∵∠ACO=∠CBO，∠AOC=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴$\frac{OA}{CO}$=$\frac{CO}{OB}$，
∴OA•OB=OC²=4，
∴$\frac{-2}{a}$=-4，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2．

（2）如圖2中，PN與OM交于點(diǎn)G，

由題意OM⊥PN，
∵PN∥BC，
∴OM⊥BC，
∵直線BC的解析式為y=$\frac{1}{2}$x-2，
∴直線OM的解析式為y=-2x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}x-2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\\{y=1-\sqrt{17}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}\\{y=1+\sqrt{17}}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)（$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$，1-$\sqrt{17}$），
∵OG=GM，
∴點(diǎn)G坐標(biāo)（$\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$），
∴直線PN的解析式為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{5-5\sqrt{17}}{8}$，
∴m=$\frac{5-5\sqrt{17}}{8}$．

（3）如圖3中，CE交AB于M，作MG⊥AC于G，MH⊥BC于H，連接EB．對稱軸與x軸交于點(diǎn)K．

∵CE平分∠ACB，
∴MG=MH，
∵A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）
∴AC=$\sqrt{5}$，BC=2$\sqrt{5}$，AB=5，
∴$\frac{{S}_{△ACM}}{{S}_{△BCM}}$=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{\frac{1}{2}•AC•MG}{\frac{1}{2}•BC•MH}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}$
∴AM=$\frac{5}{3}$，OM=$\frac{2}{3}$，
∴直線CE解析式為y=3x-2，
∴點(diǎn)E坐標(biāo)（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），
∴EK=AK=KB，
∴△EAB是等腰直角三角形，
∴∠EBA=∠ACE=45°，
∴E、A、C、B四點(diǎn)共圓，圓心為K，⊙K與拋物線在第四象限的交點(diǎn)為F．
根據(jù)對稱性，點(diǎn)F坐標(biāo)（3，-2），
由圖象可知，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線A→C段或B→F段時(shí)，∠APC＞∠AEC，
此時(shí)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x_p的取值范圍-1＜x_P＜0或3＜x_P＜4．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，學(xué)會利用方程組確定兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，第三個(gè)問題的突破點(diǎn)是利用圓，找到點(diǎn)P的位置，屬于中考壓軸題．