Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，?ABCD的邊BC在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，AD=6，若OA、OB的長是關(guān)于x的一元二次方程x²-7x+12=0的兩個(gè)根，且OA＞OB．
（1）求cos∠ABC的值；
（2）點(diǎn)P由B出發(fā)沿BC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長度，點(diǎn)Q由D出發(fā)沿DA方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤3），是否存在某一時(shí)刻；使△AOP與△QAO相似？若存在，求此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）先解一元二次方程得出OA=4，OB=3，再用勾股定理即求出AB，最后用三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論；
（2）分點(diǎn)P在OB和OC上兩種情況，當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)①分△AOP∽△OAQ和△AOP∽△QAO，用比例式建立方程求解即可；當(dāng)點(diǎn)P在OC上時(shí)，同點(diǎn)P在OB上的方法即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由方程x²-7x+12=0解得，x=4，或x=3，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=5，
∴cos∠ABC=$\frac{OB}{AB}=\frac{3}{5}$，
（2）如圖，由題意得，BP=2t，AQ=6-t，
當(dāng)點(diǎn)P在OB上時(shí)，0＜t＜1.5，
∵∠AOP=∠OAQ=90°，
∴①當(dāng)$\frac{OP}{OA}=\frac{OA}{AQ}$時(shí)，△AOP∽△OAQ，
∴$\frac{3-2t}{3}=\frac{4}{6-t}$，
∴t=$\frac{15+\sqrt{209}}{4}$（舍）或t=$\frac{15-\sqrt{209}}{4}$，
②當(dāng)$\frac{OP}{OA}=\frac{AQ}{OA}$時(shí)，△AOP∽△QAO，
∴3-2t=6-t，
∴t=-3（舍），
當(dāng)點(diǎn)P在OC上時(shí)，1.5≤t≤3，
∵∠AOP=∠OAQ=90°，
∴①當(dāng)$\frac{OP}{OA}=\frac{OA}{AQ}$，△AOP∽△OAQ，
∴$\frac{2t-3}{4}=\frac{4}{6-t}$此時(shí)方程無實(shí)數(shù)解，
②當(dāng)$\frac{OP}{OA}=\frac{AQ}{OA}$，
∴2t-3=6-t，
∴t=3，
綜上可得當(dāng)t=$\frac{15-\sqrt{209}}{4}$或t=3時(shí)，△AOP與△QAO相似

點(diǎn)評(píng) 此題是相似形綜合題，主要考查了一元二次方程的解法，勾股定理，銳角三角函數(shù)，相似三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)；利用分類討論的思想方法是解答本題的要點(diǎn)；