Question

如圖，將△ABC沿CA方向平移CA長度得到△EFA，連接BE，其中AB=AC，已知△ABE的面積為3．
（1）找出圖中所有的平行四邊形，并說明理由；
（2）求四邊形CEFB的面積；
（3）試判斷AF與BE的位置關(guān)系，并說明理由；
（4）若∠BEC=15°，求AC的長．

Answer 1

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì),平移的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由平移的性質(zhì)可證明四邊形AFBC和AEFB為平行四邊形；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到AE=BF=AC，BF∥CE，△EFA≌△ABC，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，則S_△AEF=S_△ABF=S_△ABC=3 cm²，然后利用四邊形CEFB的面積=3S_△ABC進行計算；
（3）由于AB=AC，而AE=AC，則AB=AE，利用（1）中證得的四邊形AEFB是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定方法有四邊形AEFB是菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AF與BE互相垂直平分；
（4）設(shè)AC=x，則AB=x，由條件可求得∠BAC=30°，過B作BD⊥AC于點D，則可得BD=

1

2

AC，再結(jié)合△ABC的面積為3，可求得AC的長．

解答：解：
（1）四邊形AFBC和四邊形AEFB為平行四邊形．
由平移的性質(zhì)得，
AF∥BC，且AF=BC，AB∥EF，且AB=EF，△EFA≌△ABC，
∴四邊形AFBC和四邊形AEFB為平行四邊形；
（2）由（1）可知四邊形AEFB是平行四邊形，
∴S_△AEF=S_△ABF=S_△ABC=3 cm²，
∴四邊形BCEF的面積=3S_△ABC=9 cm²；
（3）AF與BE互相垂直平分．理由如下：
∵AB=AC，
而AE=AC，
∴AB=AE，
∵四邊形AEFB是平行四邊形，
∴四邊形AEFB是菱形，
∴AF與BE互相垂直平分；
（4）如圖，作BD⊥AC于D，

∵∠BEC=15°，AE=AB，
∴∠EBA=∠EBC=15°，
∴∠BAC=2∠BEC=30°，
∴S_△ABE=

1

2

AC•BD=

1

2

AC•

1

2

AB=

1

4

AC²，
又S_△ABE=3，
∴

1

4

AC²=3，
∴AC=2

3

．

點評：本題主要考查平行四邊形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①兩組對邊分別平行的四邊形?平行四邊形，②兩組對邊分別相等的四邊形?平行四邊形，③一組對邊分別平行且相等的四邊形?平行四邊形，④兩組對角分別相等的四邊形?平行四邊形，⑤對角線互相平分的四邊形?平行四邊形．