Question

如圖，分別求出半徑為R的圓內(nèi)接正三角形圓內(nèi)接正方形的周長和面積．

Answer 1

考點：正多邊形和圓

專題：

分析：如圖1，連接OB、OC，過O作OD⊥AB于D，求出中心角AOB，解直角三角形求出AD和OD，根據(jù)垂徑定理求出AB，即可得出答案；連接OA、OB、OC，求出中心角COD，根據(jù)勾股定理求出CD，即可得出答案．

解答：解：如圖1，連接OB、OC，過O作OD⊥AB于D，
∵⊙O是正三角形ABC的外接圓，
∴∠AOB=

360°

3

=120°，
∵OA=OB，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
在Rt△ADO中，AO=R，AD=R×sin60°=

3

2

R，OD=Rcos60°=

1

2

R，
∵OD⊥AB，
∴AB=2AD=

3

R，
∴正△ABC的周長是3AB=3

3

R；面積是3×

1

2

AB×OD=3×

1

2

×

3

R×

1

2

R=

3

4

R²；
如圖2，連接OA、OB、OD，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圓，
∴∠COD=

360°

4

=90°，
∵OD=OC=R，由勾股定理得；CD=

R2+R2

=

2

R，
∴正方形ABCD的周長為4×

2

R=4

2

R，面積為

2

R×

2

R=2R²．

點評：本題考查了正多邊形和圓，解直角三角形，正多邊形的性質的應用，解此題的關鍵是求出正多邊形的邊長，主要考查學生的計算能力，難度適中．