Question

閱讀下面材料：
課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到E，使DE=AD，再連接BE，相當于把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，即可得到AD的取值范圍．請你寫出AD的取值范圍

 

；
小明小組的感悟：解題時，可以通過構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中．
請你解決以下問題：
（1）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，ED⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．
①求證：BE+CF＞EF；
②若∠A=90°，請直接寫出線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系為

 

．
（2）如圖3，在四邊形ABDC中，∠B+∠C=180°，DB=DC，∠BDC=120°，以D為頂點作一個60°的角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),三角形三邊關(guān)系

專題：

分析：利用三角形全等可以得出AD=AE，由三角形的三邊關(guān)系建立不等式就可以得出結(jié)論；
（1）①如圖2，延長ED到點G使DG=ED，連結(jié)GF，GC，就有EF=GF，連結(jié)FG、CG，可證△BED≌△CDG，則CG=BE，由三角形的三邊關(guān)系就可以得出結(jié)論；
②如圖2，由∠A=90°就可以得出∠A+∠ACB=90°，就可以得出∠FCG=90°由勾股定理就可以得出結(jié)論；
（2）延長AC到G使CG=BE，連結(jié)DG可以得出△DBE≌△DCG就有DE=DG，∠BDE=∠CDG，由∠BDC=120°，∠EDF=60°，可以得出∠BDE+∠CDF=60°，進而得出∠FDG=60°，就有∠EDF=∠GDF，得出△EDF≌△GDF，得出結(jié)論．

解答：解：∵D是BC的中點，
∴BD=CD．
在△ADC和△EDB中，

BD=CD ∠BDE=∠ADC ED=AD

，
∴△ADC≌EDB（SAS），
∴AC=BE．
∵AB-BE＜AE＜AB+BE，
∴AB-AC＜2AD＜AB+AC．
∵AB=5，AC=3，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4．
故答案為：1＜AD＜4；
（1））①如圖2，延長ED到點G使DG=ED，連結(jié)GF，GC
∵ED⊥DF
∴EF=GF．
∵D是BC的中點，
∴BD=CD．
在△BDE和△CDG中，

ED=GD ∠BDE=∠GDC BD=CD

，
∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴BE=CG．
∵CG+CF＞GF，
∴BE+CF＞EF；
②如圖2，∵∠A=90°，
∴∠A+∠ACB=90°．
在△BDE和△CDG中，

ED=GD ∠BDE=∠GDC BD=CD

，
∵△DBE≌△DCG（SAS），
∴BE=CG．∠B=∠GCD，
∴∠GCD+∠ACB=90°．
即∠GCF=90°．
∴CF²+GC²=GF²，
∴BE²+CF²=EF²．
故答案為：BE²+CF²=EF²；
（2）EF=BE+CF
理由：如圖3，延長AC到G使CG=BE，
∵∠B+∠ACD=180°，∠ACD+∠DCG=180°，
∴∠B=∠DCG．
在△DBE和△DCG中

BE=GC ∠B=∠DCG BD=CD

，
∴△DBE≌△DCG（SAS），
∴DE=DG，∠BDE=∠CDG．
∵∠BDC=120°，∠EDF=60°
∴∠BDE+∠CDF=60°，
∴∠CDG+∠CDF=60°，
∴∠EDF=∠GDF．
在△EDF和△GDF中，

DE=DG ∠EDF=∠GDF DF=DF

∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=GF．
∵GF=CG+CF，
∴GF=BE+CF，
∴EF=BE+CF．

點評：本題考查了三角形的三邊關(guān)系的運用，勾股定理的運用，四邊形的性質(zhì)的運用，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系的運用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．