Question

19．如圖，在等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)D、E分在AC、BC邊上運(yùn)動，且始終保持AD=CE．連接DE、DF、EF，在此運(yùn)動變化的過程中，下列結(jié)論：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四邊形CDFE的面積保持不變；
③四邊形CDFE不可能為正方形；
④△CDE面積的最大值為8．
其中錯誤的結(jié)論是③．（只填序號）

Answer 1

分析 連結(jié)CF，如圖，根據(jù)等腰直角△ABC的性質(zhì)得CF=AF=BF，CF⊥AB，∠1=45°，則可根據(jù)“SAS”判斷△ADF≌△CEF，得到DF=EF，∠3=∠2，由∠3+∠CFD=90°可得∠3+∠2=90°，即∠DFE=90°，所以△DEF為等腰直角三角形，于是可對①進(jìn)行判斷；由于當(dāng)FD⊥AC時，F(xiàn)E⊥BC，則AD=CE=$\frac{1}{2}$AC，此時四邊形CDFE為正方形，于是可對③進(jìn)行判斷；利用S_△ADF=S_△CEF可得四邊形CDFE的面積=S_△ACF=$\frac{1}{2}$S_△ABC=16，于是可對②進(jìn)行判斷；由于S_△CDE=S_{四邊形CDFE}-S_△DEF=16-S_△DEF，F(xiàn)D的長度的最小值為4，則S_△DEF的最小值值為8，所以△CDE面積的最大值為8，則可對④進(jìn)行判斷，問題得解．

解答 解：連結(jié)CF，如圖，
∵△ABC為直角三角形，
∴∠A=45°，
∵F是等腰直角△ABC斜邊上的中點(diǎn)，
∴CF=AF=BF，CF⊥AB，∠1=45°，
在△ADF和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CE}\\{∠A=∠1}\\{AF=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CEF（SAS），
∴DF=EF，∠3=∠2，
∵∠3+∠CFD=90°，
∴∠3+∠2=90°，即∠DFE=90°，
∴△DEF為等腰直角三角形，所以①正確；
∵△ADF≌△CEF，
∴S_△ADF=S_△CEF，
∴四邊形CDFE的面積=S_△ACF=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×8×8=16，所以②正確；
當(dāng)FD⊥AC時，F(xiàn)E⊥BC，則AD=CE=$\frac{1}{2}$AC，此時四邊形CDFE為正方形，所以③正確；
∵S_△CDE=S_{四邊形CDFE}-S_△DEF=16-S_△DEF，
而當(dāng)FD⊥AC時，F(xiàn)D的長度最小，此時FD=$\frac{1}{2}$AC=4，
∴S_△DEF的最小值為$\frac{1}{2}$×4×4=8，
∴△CDE面積的最大值為16-8=8，所以④正確．
故答案為③

點(diǎn)評 本題考查的是和四邊形有關(guān)的綜合性題目，用到的知識點(diǎn)有：正方形的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握正方形的判定定理、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、熟記各種特殊幾何圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．