Question

19．在正方形ABCD中，AD=4．點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，連接CE，將△BCE沿CE翻折，使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，對角線BD與CF，CE分別相交于點(diǎn)M，N，則MN的長是$\frac{20}{21}\sqrt{2}$．．

Answer 1

分析 先構(gòu)造出直角三角形，利用三角函數(shù)求出BG=NE=$\frac{4}{3}$，CN=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，進(jìn)而求出BN，再構(gòu)造出等腰三角形，求出NH=CH=$\frac{5}{3}$，最后用平行線分線段成比例即可求出MN．

解答 解：如圖，
過點(diǎn)N作NG⊥BC，
∵點(diǎn)E是正方形的邊AB中點(diǎn)，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$BC，
∴tan∠BCE=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
在Rt△CGN中，tan∠BCE=$\frac{NG}{CG}$，
∵BD是正方形ABCD的對角線，
∴∠CBD=45°，
∴NG=BG，CG=BC-BG=4-BG，
∴$\frac{BG}{4-BG}=\frac{1}{2}$，
∴NG=BG=$\frac{4}{3}$，
∴CG=$\frac{8}{3}$，
在Rt△CGN中，CN=$\sqrt{C{G}^{2}+N{G}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$
在Rt△BNG中，BN=$\sqrt{2}$BG=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
過點(diǎn)N作NH∥BC，過點(diǎn)H作HP⊥CE，
由折疊得，∠BCE=∠FCE，
∴NH=CH，PN=PC=$\frac{1}{2}$CN=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∵tan∠PCH=$\frac{PH}{PC}=\frac{1}{2}$，
∴PH=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
根據(jù)勾股定理得，NH=CH=$\sqrt{P{H}^{2}+P{C}^{2}}$=$\frac{5}{3}$，
∵NH∥BC，
∴$\frac{MN}{BM}=\frac{NH}{BC}$，
∴$\frac{MN}{BN+MN}=\frac{NH}{BC}$，
∴$\frac{MN}{\frac{4\sqrt{2}}{3}+MN}=\frac{\frac{5}{3}}{4}$
∴MN=$\frac{20}{21}\sqrt{2}$．
故答案為$\frac{20}{21}\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 此題是折疊問題，主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造在出等腰三角形，注意：圖形中有角平分線和平行線出現(xiàn)，易出現(xiàn)等腰三角形．