Question

3．在ABC中，邊AC上有一點(diǎn)D滿足DC=2AD，O是△BDC的內(nèi)心，E、F分別為⊙O與邊BD、DC的切點(diǎn)，設(shè)BD=BC．
（1）求證：①AE⊥EF，②AE∥DO；
（2）若AC=6，⊙O的半徑為1，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）①連接BO、OF，由點(diǎn)O是△BDC的內(nèi)心，所以BO是△BDC的平分線，又因?yàn)镈C是⊙O的切線，所以O(shè)F⊥DC，又因?yàn)锽D=BC，由三線合一可知，B、O、F三點(diǎn)共線，所以可得AD=DF，然后利用切線長定理可知AD=DE=DF，從而可知∠AEF=90°；
②點(diǎn)O是△BDC的內(nèi)心可知，DO是△BDC的平分線，所以∠EDO=∠DEA，從而可得AE∥DO；
（2）由（1）可知DO⊥EF，設(shè)DO與EF相交于點(diǎn)G，由勾股定理求出DO的長度，再由等面積可求得GF的長度，利用垂徑定理可得EF的長度，最后用勾股定理即可求出AE的長度．

解答 解（1）①連接OB、OF，
∵點(diǎn)O是△BDC的內(nèi)心，
∴OB平分∠DBC，
∵CD與⊙O相切，
∴OF⊥CD，
∵BD=BC，
∴B、O、F三點(diǎn)共線，
∴DF=CF，
∵DC=2AD，
∴AD=DF，
∵BD與⊙O相切，
∴由切線長定理可知：DE=DF，
∴AD=DE=DF，
∴A、E、F三點(diǎn)共圓，且圓心為D
∵AF是⊙D的直徑，
∴∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，

②∵O是△BDC的內(nèi)心，
∴DO平分∠BDC，
∴∠EDF=2∠EDO，
∵∠EDF=∠DAE+∠DEA，
∴2∠EDO=2∠DEA，
∴∠EDO=∠DEA，
∴AE∥DO，

（2）設(shè)DO與EF相交于點(diǎn)G，
由（1）可知：DE=DF，DO平分∠EDF，
∴DO⊥EF，
∵AD=DF=CF，AC=6，
∴DF=2，
∵OF=1，
∴由勾股定理可求得：OD=$\sqrt{5}$，
∵$\frac{1}{2}$DF•OF=$\frac{1}{2}$OD•FG，
∴FG=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
由垂徑定理可知：EF=2FG=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵AF=2DF=4，
∵∠AEF=90°，
∴由勾股定理可求得：AE=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查三角形的內(nèi)心性質(zhì)，涉及切線長定理，等腰三角形的三線合一，勾股定理，垂徑定理等知識，內(nèi)容較為綜合，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行解答．