Question

14．如圖，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線分別交AD于點(diǎn)E、F，連結(jié)BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H．給出下列結(jié)論：
①△ABE≌△DCF；②$\frac{FP}{PH}$=$\frac{3}{5}$；③DP²=PH•PB；④$\frac{{S}_{△BPD}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．
其中正確的是①③④．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，得到∠ABE=∠DCF，∠A=∠ADC，AB=CD，證得△ABE≌△DCF，故①正確；由于∠FDP=∠PBD，∠DFP=∠BPC=60°，推出△DFP∽△BPH，得到$\frac{PF}{PH}$=$\frac{DF}{PB}$=$\frac{DF}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$故②錯(cuò)誤；由于∠PDH=∠PCD=30°，∠DPH=∠DPC，推出△DPH∽△CPD，得到$\frac{PD}{CD}$=$\frac{PH}{PD}$，PB=CD，等量代換得到PD²=PH•PB，故③正確；根據(jù)三角形面積計(jì)算公式，結(jié)合圖形得到△BPD的面積=△BCP的面積+△CDP面積-△BCD的面積，得到$\frac{{S}_{△BPD}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$故④正確．

解答 解：∵△BPC是等邊三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°，
在正方形ABCD中，
∵AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°
∴∠ABE=∠DCF=30°，
在△ABE與△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ADC}\\{∠ABE=∠DCF}\\{AB=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF，故①正確；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=75°，
∴∠FDP=15°，
∵∠DBA=45°，
∴∠PBD=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH，
∴$\frac{PF}{PH}$=$\frac{DF}{PB}$=$\frac{DF}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故②錯(cuò)誤；
∵∠PDH=∠PCD=30°，
∵∠DPH=∠DPC，
∴△DPH∽△CDP，
∴$\frac{PD}{CD}$=$\frac{PH}{PD}$，
∴PD²=PH•CD，
∵PB=CD，
∴PD²=PH•PB，故③正確；
如圖，過(guò)P作PM⊥CD，PN⊥BC，
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)是4，△BPC為正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCD=30°
∴PN=PB•sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，PM=PC•sin30°=2，
S_△BPD=S_{四邊形PBCD}-S_△BCD=S_△PBC+S_△PDC-S_△BCD=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×4×4=4$\sqrt{3}$+4-8=4$\sqrt{3}$-4，
∴$\frac{{S}_{△BPD}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{\sqrt{3}-1}{4}$．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的正方形的性質(zhì)以及等積變換，解答此題的關(guān)鍵是作出輔助線，利用銳角三角函數(shù)的定義求出PE及PF的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式得出結(jié)論．