Question

如圖，E是長方形ABCD的邊AB上的點，EF⊥DE交BC于點F
（1）求證：△ADE∽△BEF；
（2）設H是ED上一點，以EH為直徑作⊙O，DF與⊙O相切于點G，若DH=OH=3，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留到小數(shù)點后面第一位，

3

≈1.73，π≈3.14）．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),矩形的性質(zhì),扇形面積的計算,相似三角形的判定,特殊角的三角函數(shù)值

專題：綜合題

分析：（1）由條件可證∠AED=∠EFB，從而可證△ADE∽△BEF．
（2）由DF與⊙O相切，DH=OH=OG=3可得∠ODG=30°，從而有∠GOE=120°，并可求出DG、EF長，從而可以求出△DGO、△DEF、扇形OEG的面積，進而可以求出圖中陰影部分的面積．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°．
∵EF⊥DE，
∴∠DEF=90°．
∴∠AED=90°-∠BEF=∠EFB．
∵∠A=∠B，∠AED=∠EFB，
∴△ADE∽△BEF．

（2）解：∵DF與⊙O相切于點G，
∴OG⊥DG．
∴∠DGO=90°．
∵DH=OH=OG，
∴sin∠ODG=

OG

OD

=

1

2

．
∴∠ODG=30°．
∴∠GOE=120°．
∴S_扇形OEG=

120π×32

360

=3π．
在Rt△DGO中，
cos∠ODG=

DG

DO

=

DG

6

=

3

2

．
∴DG=3

3

．
在Rt△DEF中，
tan∠EDF=

EF

DE

=

EF

9

=

3

3

．
∴EF=3

3

．
∴S_△DEF=

1

2

DE•EF=

1

2

×9×3

3

=

27 3

2

，
S_△DGO=

1

2

DG•GO=

1

2

×3

3

×3=

9 3

2

．
∴S_陰影=S_△DEF-S_△DGO-S_扇形OEG
=

27 3

2

-

9 3

2

-3π
=.9

3

-3π
≈9×1.73-3×3.14
=6.15
≈6.2
∴圖中陰影部分的面積約為6.2．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定、切線的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、扇形的面積等知識，考查了用割補法求不規(guī)則圖形的面積．