Question

12．已知如圖，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）如圖，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)B的直線交y軸于點(diǎn)N，交拋物線于另一點(diǎn)M．若∠DBM=∠ACO，求$\frac{MN}{NB}$的值；
（3）如圖，在（2）的條件下，點(diǎn)P是y軸上一點(diǎn)，連PM、PB分別交拋物線于點(diǎn)E、F，探究EF與MB的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可解決問(wèn)題．
（2）取點(diǎn)Q（1，4），P（0，1），如圖1中，作QR⊥y軸于R，連接PQ，則RQ=OP=1，PR=OC=OB=3，由△POR≌△BPO≌△CAO，推出BQ與y軸的交點(diǎn)是N，與拋物線的交點(diǎn)是M，利用方程組即可解決問(wèn)題．
（3）結(jié)論：EF∥BM或EF與BM重合．設(shè)P（0，m），求出直線PM、PB，再利用方程組求出點(diǎn)E、F坐標(biāo)，求出直線EF的解析式即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）、B（3，0），
∴有方程組$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{9+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴b=-2，c=-3．

（2）∵拋物線解析式為y=x²-2x-3，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)（0，-3），OA=1，OB=3，OC=3，
∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱
∴△BOD是等腰直角三角形，∴∠2+∠4=45°，
取點(diǎn)Q（1，4），P（0，1），如圖1中，作QR⊥y軸于R，連接PQ，則RQ=OP=1，PR=OC=OB=3，
∴△POR≌△BPO≌△CAO，
∴∠1=∠2=∠α，PQ=PB，
∵∠6+∠2=90°，∴∠1+∠6=90°，
∴∠5=90°，∵PQ=PB，
∴∠3+∠4=45°，∵∠2+∠4=45°，
∴∠DBQ=∠3=∠2=∠α=∠ACO，
∴由此BQ與y軸的交點(diǎn)是N，與拋物線的交點(diǎn)是M，
∵B（3，0），Q（1，4），設(shè)直線BQ為y=kx+n，則$\left\{\begin{array}{l}{3k+n=0}\\{k+n=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴直線BN的解析式為y=-2x+6，
∴N（0，6），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+6}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∵B（3，0），∴M（-3，12），
作MG⊥y軸于G，
∵N（0，6），M（-3，12），B（3，0），
∴MG=OB=3，NO=NG=6，
∴Rt△MNG≌△Rt△BNO，
∴MN=NB
∴$\frac{MN}{BN}$=1．

（3）結(jié)論：EF∥BM或EF與BM重合．
理由：設(shè)P（0，m），
∵M(jìn)（-3，12），B（3，0），
∴可得直線PM的解析式為y=$\frac{m-12}{3}$x+m，直線PB的解析式為y=-$\frac{m}{3}$x+m，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{m-12}{3}x+m}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$消去y得3x²+（6-m）x-3（m+3）=0，
[3x-（m+3）]（x+3）=0，
∴x=-3或$\frac{m+3}{3}$，
x=-3時(shí)，y=12，
x=$\frac{m+3}{3}$時(shí)，y=$\frac{{m}^{2}-36}{9}$，
∴方程組的解為$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{m+3}{3}}\\{y=\frac{{m}^{2}-36}{9}}\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{m+3}{3}$，$\frac{{m}^{2}-36}{9}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{m}{3}x+m}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{m+3}{3}}\\{y=\frac{{m}^{2}+12m}{9}}\end{array}\right.$，
∴F（-$\frac{m+3}{3}$，$\frac{{m}^{2}+12m}{9}$），
設(shè)直線EF解析式為y=ax+t，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}+12m}{9}=-\frac{m+3}{3}a+t}\\{\frac{{m}^{2}-36}{9}=\frac{m+3}{3}a+t}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{m}^{2}+12m-{m}^{2}+36}{9}$=-$\frac{2（m+3）}{3}a$，
∴a=-2，
∴直線EF的解析式為y=-2x+t，
∵直線BM的解析式為y=-2x+6，
∴t≠6時(shí)，EF∥MB，
t=6時(shí)，直線EF與BM重合．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、待定系數(shù)法、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些知識(shí)的應(yīng)用，學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，題目比較難，屬于中考?jí)狠S題．