Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2

3

，
（1）求直徑AB的長；
（2）陰影部分圖形的面積．

Answer 1

考點：垂徑定理,勾股定理,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）根據(jù)垂徑定理求得CE=ED=

3

，然后由圓周角定理知∠COE=60°，然后通過解直角三角形求得線段OC的長度，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（2）由圓周角定理知∠COE=60°，然后通過解直角三角形求得線段OC、OE的長度，最后將相關(guān)線段的長度代入S_陰影=S_扇形OCB-S_△COE+S_△BED．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=

1

2

CD=

3

，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COE=2∠CDB=60°，∠OCE=30°，
∴OE=CE•cot60°=

3

×

3

3

=1，
∴OC=2OE=2；

（2）∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴CE=ED=

3

，
又∵∠CDB=30°，
∴∠COE=2∠CDB=60°，∠OCE=30°，
∴OE=CE•cot60°=

3

×

3

3

=1，OC=2OE=2，
∴S_陰影=S_扇形OCB-S_△COE+S_△BED=

60π×OC2

360

-

1

2

OE×EC+

1

2

BE•ED=

2π

3

-

3

2

+

3

2

=

2π

3

．

點評：本題考查了垂徑定理、扇形面積的計算，通過解直角三角形得到相關(guān)線段的長度是解答本題的關(guān)鍵．