Question

11．如圖，在邊長為12$\sqrt{2}$的正方形ABCD中，E是AB邊上一點，G是AD延長線上一點，BE=DG，連接EG，CF⊥EG交EG于H，交AD于F點，連接CE，BH．若BH=16，則FG=10$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 連接CG，首先證明△CGD≌△CEB，得到△GCE是等腰直角三角形；過點H作AB、BC的垂線，垂足分別為點M、N，進而證明△HEM≌△HCN，得到四邊形MBNH為正方形，由此求出CH、HN、CN的長度；最后利用相似三角形的判定得到Rt△HCN∽Rt△GFH，求出FG的長度．

解答 解：如圖所示，連接CG．

在△CGD與△CEB中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=DG}\\{∠EBC=∠GDC=90°}\\{BC=DC}\end{array}\right.$
∴△CGD≌△CEB（SAS），
∴CG=CE，∠GCD=∠ECB，
∴∠GCE=90°，即△GCE是等腰直角三角形．
又∵CH⊥GE，
∴CH=EH=GH．
過點H作AB、BC的垂線，垂足分別為點M、N，則∠MHN=90°，
又∵∠EHC=90°，
∴∠1=∠2，
∴∠HEM=∠HCN．
在△HEM與△HCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{EH=CH}\\{∠HEN=∠HCN}\end{array}\right.$
∴△HEM≌△HCN（ASA）．
∴HM=HN，
∴四邊形MBNH為正方形．
∵BH=16，
∴BN=HN=8$\sqrt{2}$，
∴CN=BC-BN=12$\sqrt{2}$-8$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$．
在Rt△HCN中，由勾股定理得：CH=4$\sqrt{10}$．
∴GH=CH=4$\sqrt{10}$．
∵HM∥AG，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3．
又∵∠HNC=∠GHF=90°，
∴Rt△HCN∽Rt△GFH．
∴$\frac{CH}{FG}=\frac{HN}{GH}$，即$\frac{4\sqrt{10}}{FG}=\frac{8\sqrt{2}}{4\sqrt{10}}$，
∴FG=10$\sqrt{2}$
故答案為：10$\sqrt{2}$．

點評 本題是幾何綜合題，考查了全等三角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、勾股定理等重要知識點，難度較大．作出輔助線構(gòu)造全等三角形與相似三角形，是解決本題的關(guān)鍵．