Question

12．如圖，在Rt△AOC中，∠A=30°，點(diǎn)O（0，0），C（1，0），點(diǎn)A在y軸正半軸上，以AC為一邊作等腰直角△ACP，使得點(diǎn)P在第一象限．
（1）求出所有符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）在△AOC內(nèi)部存在一點(diǎn)Q，使得AQ、OQ、CQ之和最小，請求出這個和的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)C（1，0），得到OC=1，解直角三角形得到AC=2，OA=$\sqrt{3}$，如圖1，①當(dāng)AC=AP，∠CAP=90°，過P₁作P₁B⊥y軸于B，②當(dāng)AC=CP，∠ACP=90°，過P₂作P₂D⊥x軸于D，③當(dāng)CP=AP，∠APC=90°，過P₃作P₃E⊥x軸于E，解直角三角形即可得到結(jié)論；
（2）任取△AOC內(nèi)一點(diǎn)Q，連接AQ、BQ、CQ，將△ACQ繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′CQ’，于是得到當(dāng)A′Q′，OQ，QQ′這三條線段在同一直線時最短，即AQ+OQ+CQ的最小值=OA′，過A′作A′B⊥x軸于B，解直角三角形即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵C（1，0），
∴OC=1，
∵在Rt△AOC中，∠A=30°，
∴AC=2，OA=$\sqrt{3}$，
如圖1，①當(dāng)AC=AP，∠CAP=90°，過P₁作P₁B⊥y軸于B，
則△ABP₁≌△COA，
∴AB=OC=1，BP₁=AO=$\sqrt{3}$，
∴OB=1+$\sqrt{3}$，
∴P₁（$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$）；
②當(dāng)AC=CP，∠ACP=90°，過P₂作P₂D⊥x軸于D，
同理可得：CD=OA=$\sqrt{3}$，P₂D=1，
∴P₂（1+$\sqrt{3}$，1）；
③當(dāng)CP=AP，∠APC=90°，過P₃作P₃E⊥x軸于E，
則P₃是AP₂的中點(diǎn)，
∴OE=$\frac{1}{2}$OD=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，P₃E=$\frac{1}{2}$（OA+P₂D）=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，
∴P₃（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）；
綜上所述，P（$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$），（1+$\sqrt{3}$，1），（$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$）；

（2）如圖2，任取△AOC內(nèi)一點(diǎn)Q，連接AQ、BQ、CQ，
將△ACQ繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′CQ’，
∴A′C=AC=2，CQ=CQ′，AQ=A′Q′，∠ACA′=∠QCQ′=60°，
∴△QCQ′是等邊三角形，
∴CQ=QQ′，
∴AQ+OQ+CQ=A′Q′+OQ+QQ’，
∴當(dāng)A′Q′，OQ，QQ′這三條線段在同一直線時最短，即AQ+OQ+CQ的最小值=OA′，
∵∠ACO=∠ACA′=60°，
∴∠A′CB=60°，
過A′作A′B⊥x軸于B，
∴BC=$\frac{1}{2}$A’C=1，A′B=$\sqrt{3}$，
∴OB=2，
∴A′O=$\sqrt{O{B}^{2}+A′{B}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∴AQ、OQ、CQ之和的最小值是$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評 本題考查了軸對稱-最短距離問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確作出圖形是解題的關(guān)鍵．