Question

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=mx²+4mx-5m（m＜0）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），該拋物線的對(duì)稱軸與直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x相交于點(diǎn)E，與x軸相交于點(diǎn)D，點(diǎn)P在直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上（不與原點(diǎn)重合），連接PD，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥PD交y軸于點(diǎn)F，連接DF．
（1）如圖①所示，若拋物線頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6$\sqrt{3}$，求拋物線的解析式；
（2）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖②所示，小紅在探究點(diǎn)P的位置發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，∠PDF的大小為定值，進(jìn)而猜想：對(duì)于直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x上任意一點(diǎn)P（不與原點(diǎn)重合），∠PDF的大小為定值．請(qǐng)你判斷該猜想是否正確，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先提取公式因式將原式變形為y=m（x²+4x-5），然后令y=0可求得函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后依據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得到拋物線的對(duì)稱軸為x=-2，故此可知當(dāng)x=-2時(shí)，y=6$\sqrt{3}$，于是可求得m的值；
（2）由（1）的可知點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（3）先由一次函數(shù)的解析式得到∠PBF的度數(shù)，然后再由PD⊥PF，F(xiàn)O⊥OD，證明點(diǎn)O、D、P、F共圓，最后依據(jù)圓周角定理可證明∠PDF=60°．

解答 解：（1）∵y=mx²+4mx-5m，
∴y=m（x²+4x-5）=m（x+5）（x-1）．
令y=0得：m（x+5）（x-1）=0，
∵m≠0，
∴x=-5或x=1．
∴A（-5，0）、B（1，0）．
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=-2．
∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為為6$\sqrt{3}$，
∴-9m=6$\sqrt{3}$．
∴m=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{8\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{10\sqrt{3}}{3}$．
（2）由（1）可知：A（-5，0）、B（1，0）．
（3）如圖所示：
∵OP的解析式為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴∠AOP=30°．
∴∠POF=60°
∵PD⊥PF，F(xiàn)O⊥OD，
∴∠DPF=∠FOD=90°．
∴∠DPF+∠FOD=180°．
∴點(diǎn)O、D、P、F共圓．
∴∠PDF=∠POF．
∴∠PDF=60°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)、解一元二次方程、函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，四點(diǎn)共圓、圓周角定理的應(yīng)用，證得點(diǎn)O、D、P、F共圓是解題的關(guān)鍵．