Question

5．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2（m+2）x+m²+1=0，有兩實(shí)數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）設(shè)方程兩根分別為x₁，x₂，且滿足|x₁|+|x₂|=|x₁x₂|-5，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由根的判別式列出不等式，解不等式可得m的取值范圍；
（2）由韋達(dá)定理可得x₁+x₂=2m+4、x₁x₂=m²+1，結(jié)合m的范圍可判斷x₁＞0、x₂＞0，繼而化簡(jiǎn)|x₁|+|x₂|=|x₁x₂|-5，代入可得關(guān)于m的一元二次方程，解方程根據(jù)m的范圍取舍可得．

解答 解：（1）根據(jù)題意，△=4（m+2）²-4（m²+1）≥0，即16m+12≥0，
解得：m≥-$\frac{3}{4}$；
（2）由韋達(dá)定理知，x₁+x₂=2（m+2）=2m+4，x₁x₂=m²+1，
∵m≥-$\frac{3}{4}$，
∴x₁+x₂=2m+4≥$\frac{5}{2}$＞0，x₁x₂=m²+1＞0，
∴x₁＞0，x₂＞0，
則|x₁|+|x₂|=|x₁x₂|-5可化為x₁+x₂=x₁x₂-5，
即2m+4=m²+1-5，
整理，得：m²-2m-8=0，
解得：m=-2或m=4，
∵m=-2＜-$\frac{3}{4}$，舍去，
∴m=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)m的范圍和根與系數(shù)的關(guān)系判斷兩根均為正數(shù)是解題的關(guān)鍵．