Question

13．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，把△BCD沿對(duì)角線BD折疊得到△BED，線段BE與AD相交于點(diǎn)P，若AB=2，BC=4．
（1）BD=$\sqrt{20}$（或$2\sqrt{5}$）；
（2）點(diǎn)P到BD的距離是$\frac{5}{{\sqrt{20}}}$（或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理直接得出；
（2）設(shè)AP=x，證出△ABP≌△EDP，可知EP=x，PD=8-x，根據(jù)翻折不變性，可知ED=DC=AB=2，然后在Rt△PED中，利用勾股定理求出x，再由三角形的面積即可求出結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，
∴∠C=90°，
∴BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
故答案為2$\sqrt{5}$；

（2）在△APB與△DEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠EPD}\\{∠A=∠E=90°}\\{AB=ED}\end{array}\right.$，
∴△APB≌△DEP，
∴AP=EP，
設(shè)AP=x，可知EP=x，PD=4-x，
∴在Rt△PED中，
x²+2²=（4-x）²，
解得x=$\frac{3}{2}$．
即AP=$\frac{3}{2}$，
∴PD=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
∴△BDP的面積=$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{2}$×2=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$•點(diǎn)P到BD的距離，
∴點(diǎn)P到BD的距離=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故答案為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理的應(yīng)用，在△ADP中利用勾股定理列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．