Question

17．已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)是（2，-2），且圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離是3，則這個(gè)二次函數(shù)的解析式是y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-$\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 用拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)得到拋物線的對稱軸為直線x=2，根據(jù)拋物線的對稱性可得拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）、（5，0），于是可設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-5）（x+1），然后把頂點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a的值即可．

解答 解：∵二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為（2，-2），
∴拋物線的對稱軸為直線x=2，
∵拋物線與x軸兩點(diǎn)之間的距離為3，
∴拋物線與x軸兩交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）、（5，0）
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-5）（x+1）（a≠0）．
把（2，-2）代入得a•（2-5）•（2+1）=-2，解得a=$\frac{1}{3}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{3}$（x-5）（x+1）=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-$\frac{5}{3}$．
故答案為：y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x-$\frac{5}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解．