Question

3．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F分別在邊AB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于點(diǎn)O．下列結(jié)論：①∠DOC=90°，②OC=OE，③tan∠OCD=$\frac{4}{3}$，④S_△ODC=S_{四邊形BEOF}中，正確的有①③④．

Answer 1

分析 由正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，AE=BF=1，利用SAS易證得△EBC≌△FCD，然后全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，易證得①∠DOC=90°正確；
②由線段垂直平分線的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，可得②錯(cuò)誤；
易證得∠OCD=∠DFC，即可求得③正確；
由①易證得④正確．

解答 解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，
∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°，
∵AE=BF=1，
∴BE=CF=4-1=3，
在△EBC和△FCD中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}&{\;}\\{∠B=∠DCF}&{\;}\\{BE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△EBC≌△FCD（SAS），
∴∠CFD=∠BEC，
∴∠BCE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°，
∴∠DOC=90°；
故①正確；
連接DE，如圖所示：
若OC=OE，
∵DF⊥EC，
∴CD=DE，
∵CD=AD＜DE（矛盾），
故②錯(cuò)誤；
∵∠OCD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠OCD=∠DFC，
∴tan∠OCD=tan∠DFC=$\frac{DC}{FC}$=$\frac{4}{3}$，
故③正確；
∵△EBC≌△FCD，
∴S_△EBC=S_△FCD，
∴S_△EBC-S_△FOC=S_△FCD-S_△FOC，
即S_△ODC=S_{四邊形BEOF}．
故④正確；
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．