Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+$\sqrt{3}$（其中a、b為常數(shù)，a≠0）經(jīng)過點A（-1，0）和點B（3，0），且與y軸交于點C，點D為對稱軸與直線BC的交點．
（1）求該拋物線的表達式；
（2）拋物線上存在點P，使得△DPB∽△ACB，求點P的坐標(biāo)；
（3）若點Q為點O關(guān)于直線BC的對稱點，點M為直線BC上一點，點N為坐標(biāo)平面內(nèi)一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以Q、B、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)拋物線過A、B兩點，待定系數(shù)法求解可得；
（2）根據(jù)A、B、C三點坐標(biāo)得出△ABC三邊長度，從而判定△ABC為直角三角形且∠ABC=30°，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$），過點P作PE⊥OB于點E，則BE=3-m，PE=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$由△DPB∽△ACB知∠ABC=∠DBP=30°，得出∠PBE=60°，繼而有tan∠PBE=$\frac{PE}{BE}$，得出關(guān)于m的方程，解之可得；
（3）由點Q為點O關(guān)于直線BC的對稱點可求出點Q的坐標(biāo)，即可得BQ的長，再分BQ為菱形的邊和BQ為菱形的對角線兩種情況分別求解，①若BQ是菱形的邊，則點N在過點Q且平行于BC的直線上，根據(jù)BQ=QN利用兩點間的距離公式可求得；②若BQ是菱形的對角線，根據(jù)菱形的性質(zhì)BQ與MN互相垂直平分，可先求得BQ解析式及中點H的坐標(biāo)，由MN⊥BQ及中點H的坐標(biāo)可得MN的解析式，結(jié)合直線BC的解析式可得M點的坐標(biāo)，最后利用MN中點H的坐標(biāo)，即可求得點N的坐標(biāo)．

解答 解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）代入y=ax²+bx+$\sqrt{3}$中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{a-b+\sqrt{3}=0}\\{9a+3b+\sqrt{3}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴該拋物線的表達式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$．

（2）當(dāng)x=0時，y=$\sqrt{3}$．
∴C（0，$\sqrt{3}$），
∵A（-1，0）、B（3，0），
∴AB=4，AC=2，BC=2$\sqrt{3}$，
∵AB²=AC²+BC²，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC為直角三角形．且∠ABC=30°，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+$\sqrt{3}$，
將點B（3，0）代入y=kx+$\sqrt{3}$中，
得：0=3k+$\sqrt{3}$，解得：k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線BC的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$．
當(dāng)x=1時，y=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴D（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$），
如圖1，過點P作PE⊥OB于點E，

則BE=3-m，PE=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m²+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$m+$\sqrt{3}$，
在Rt△ABC中，
∵△DPB∽△ACB，
∴∠ABC=∠DBP=30°，
∴∠PBE=60°，
則tan∠PBE=$\frac{PE}{BE}$，即$\frac{-\frac{\sqrt{3}}{3}{m}^{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}m+\sqrt{3}}{3-m}$=$\sqrt{3}$，
解得：m=2或m=3（舍），
∴點P的坐標(biāo)為（2，$\sqrt{3}$）．

（3）根據(jù)題意，如圖2，直線BC垂直平分OQ，且k_BC=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，

∴k_OQ=$\sqrt{3}$，
設(shè)直線OQ解析式為y=$\sqrt{3}$x，點Q的坐標(biāo)為（a，$\sqrt{3}$a），
則OQ的中點F坐標(biāo)為（$\frac{1}{2}$a，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
將點Q代入直線BC的解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$，得：-$\frac{\sqrt{3}}{6}$a+$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
解得：a=$\frac{3}{2}$，
∴Q（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$），
則BQ=$\sqrt{（\frac{3}{2}-3）^{2}+（0-\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=3，
①當(dāng)BQ是四邊形BQNM的邊時，
∵四邊形BQNM是菱形，
∴NQ∥BC，且NQ=BQ，
∴k_NQ=k_BC=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直線NQ解析式為y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{3}{2}$）+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，即y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
設(shè)N（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+2$\sqrt{3}$），
由NQ=BQ，即NQ²=BQ²可得（m-$\frac{3}{2}$）²+（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m+2$\sqrt{3}$-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）²=9，
解得：m=$\frac{3±3\sqrt{3}}{2}$，
此時點N的坐標(biāo)為（$\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$）、（$\frac{3-3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$）；
若MQ∥BN，且BN=BQ，
根據(jù)菱形的性質(zhì)可知BM垂直平分NQ，
∴點N與點O重合，即N（0，0）；
②當(dāng)BQ為四邊形BMQN的對角線時，
∵四邊形BMQN是菱形，
∴BQ、MN互相垂直平分，
由B（3，0）、Q（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）可得y_BQ=-$\sqrt{3}$x+3$\sqrt{3}$，BQ中點H（$\frac{9}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$），
∴k_MN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則y_MN=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-$\frac{9}{4}$）+$\frac{3\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{y=-\sqrt{3}x+3\sqrt{3}}\end{array}\right.$可得點M（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設(shè)點N坐標(biāo)為（m，n），
由M、N的中點H（$\frac{9}{4}$，$\frac{3\sqrt{3}}{4}$）可得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\frac{3}{2}+m}{2}=\frac{9}{4}}\\{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+n}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
即點N的坐標(biāo)為（3，$\sqrt{3}$），
綜上，點N的坐標(biāo)為（$\frac{3+3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}-3}{2}$）或（$\frac{3-3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}+3}{2}$）或（0，0）或（3，$\sqrt{3}$）．

點評 本題主要考查二次函數(shù)與軸對稱、相似三角形的性質(zhì)、相交線、平行線間的關(guān)系及菱形的性質(zhì)，根據(jù)題意靈活運用所需知識點是解題的關(guān)鍵．