Question

1．如圖，拋物線y=-x²+2x+3與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D．
（1）求出B、C兩點的坐標和拋物線的對稱軸；
（2）連接BC，與拋物線的對稱軸交于點E，點P為線段BC上的一個動點，過點P作PF∥DE交拋物線于點F，設點P的橫坐標為m；
①用含m的代數(shù)式表示線段PF的長，并求出當m為何值時，四邊形PEDF為平行四邊形？
②設△BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關系式．
（3）若點G為拋物線上的一個動點，在x軸上是否存在這樣的點H，使以B、C、G、H為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出滿足條件的H點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）對于拋物線解析式，令x=0求出y的值，確定出OC的值，得出C的坐標，令y=0求出x的值，確定出B的坐標，進而得出拋物線對稱軸；
（2）①設直線BC的解析式為y=kx+b，將B與C坐標代入求出k與b的值，即可確定出直線BC解析式；由二次函數(shù)解析式易得拋物線頂點D的坐標，結合一次函數(shù)圖象上點坐標特征可以推知點E坐標，由點的坐標與圖形是性質求得DE、PF的長度；然后由DE∥FP，欲使四邊形PEDF為平行四邊形，只需DE=PF，列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，檢驗即可．
②由三角形的面積公式列出S與m的函數(shù)關系式．
（3）需要分類討論：①以BH為邊，②以BH為對角線．確定平行四邊形后，可直接利用平行四邊形的性質求出H點的坐標．

解答 解：（1）如圖，∵在y=-x²+2x+3中，當x=0時，y=3，
∴C（0，3），
當y=0時，-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∵點A在點B的左側，
∴B（3，0），
拋物線的對稱軸是：x=-$\frac{2a}$=1；

（2）①設直線BC的函數(shù)關系式為：y=kx+b（k≠0）．
把B（3，0），C（0，3）分別代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直線BC的函數(shù)關系式為：y=-x+3；
由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4得到：D（1，4），
當x=1時，y=-1+3=2，即E（1，2）．
當x=m時，y=-m+3，則P（m，-m+3）．
當x=m時，y=-m²+2m+3，即F（m，-m²+2m+3），
∴DE=4-2=2，PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，
∵PF∥DE，
∴當PF=ED時，四邊形PEDF為平行四邊形，
由-m²+3m=2，解得：m₁=2，m₂=1（不合題意，舍去）．
則當m=2時，四邊形PEDF為平行四邊形．
②S=$\frac{1}{2}$PF•OB=$\frac{1}{2}$×（-m²+3m）×3=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m，即S=-$\frac{3}{2}$m²+$\frac{9}{2}$m（0≤m≤3）；

（3）若以B、C、G、H為頂點的四邊形是平行四邊形，
①BH為四邊形的邊，則CG∥BH，
故點G和點C關于直線x=1對稱，
∴G（2，3）且CG=2，
此時BH=2，
∴H₁（1，0）或H₂（5，0）；
②BH為對角線，則此時G的縱坐標為-3，
∴-x²+2x+3=-3，可得x=1±$\sqrt{7}$，
故G′（1+$\sqrt{7}$，-3），G″（1-$\sqrt{7}$，-3），
B、H關于點（$\frac{1+\sqrt{7}}{2}$，0）或（$\frac{1-\sqrt{7}}{2}$，0）對稱，
所以H₃（$\sqrt{7}$-2，0），H₄（-$\sqrt{7}$-2，0），
綜上，點H坐標為H₁（1，0）或H₂（5，0）或H₃（$\sqrt{7}$-2，0）或H₄（-$\sqrt{7}$-2，0）．

點評 此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、軸對稱的性質以及平行四邊形的判定和性質；要特別注意的是（3）題中，由于沒有明確BH是平行四邊形的邊還是對角線，所以一定要分類討論，以免漏解．