Question

7．如圖，AM∥BN，點E是AB的中點，把一個直角的頂點放在點E，直角的兩條邊分別與AM、BN相交于D、C，聯(lián)結CD，求證：CD=AD+BC．

Answer 1

分析 延長DE交CB的延長線于F，根據(jù)線段中點的定義可得AE=BE，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得∠A=∠EBF，∠ADE=∠F，然后利用“角角邊”證明△ADE和△BFE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AD=BF，DE=EF，再判斷出CE垂直平分DF，然后根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的離相等整理即可得證．

解答 證明：如圖，延長DE交CB的延長線于F，
∵點EAB的中點，
∴AE=BE，
∵AM∥BN，
∴∠A=∠EBF，∠ADE=∠F，
在△ADE和△BFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠EBF}\\{∠ADE=∠F}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BFE（AAS），
∴AD=BF，DE=EF，
∵∠CED是直角，
∴CE⊥DF，
∴CE垂直平分DF，
∴CD=CF，
∵CF=BF+BC=AD+BC，
∴CD=AD+BC．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質，平行線的性質，線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，難點在于作輔助線構造出全等三角形并構造出與AD+BC等長的線段CF．