Question

如圖，在?ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點，∠BMC=90°，連接AN，DN，AN與BM交于點O．
（1）求證：△ABM≌△CDN；
（2）點P在直線BM上，若BM=3，CM=4，求△PND的周長的最小值．

Answer 1

考點：平行四邊形的性質,全等三角形的判定與性質,軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）利用平行四邊形的性質首先得出AB=CD，AM=CN，進而得出△ABM≌△CDN；
（2）首先得出平行四邊形ABNM為菱形，進而得出當點P位于點M時，NP+DP取到最小值為AD，利用勾股定理求出即可．

解答：（1）證明：∵在?ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點，
∴AB=CD，
在△ABM和△CDN中，

AB=CD ∠BAM=∠DCM AM=CN

，
∴△ABM≌△CDN（SAS）；

（2）解：∵在?ABCD中，M，N分別是AD，BC的中點，
∴AM∥BN，AM=NB，
∴四邊形ABNM為平行四邊形；
在Rt△BCM中，N為BC中點，
∴MN=BN，
∴平行四邊形ABNM為菱形．
∴BM垂直平分AN，
∴點N關于BM的對稱點為點A．
∴當點P位于點M時，NP+DP取到最小值為AD．
在Rt△BCM中，BM=3，CM=4，
由勾股定理得BC=AD=5，
又由（1）知，BM=DN=3，
∴△PND的周長的最小值：5+3=8．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及平行四邊形和菱形的性質，得出當點P位于點M時，NP+DP取到最小值為AD是解題關鍵．