Question

14．如圖，已知二次函數(shù)y=-x²+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（5，3），點C（0，8），頂點為點M，過點A作AB∥x軸，交y軸于點D，交該二次函數(shù)圖象于點B，連結(jié)BC．
（1）求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標；
（2）求△ABC的面積；
（3）若將該二次函數(shù)圖象向下平移m（m＞0）個單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在△ABC的內(nèi)部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把點A、C的坐標代入函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；
（2）結(jié)合點A、B、C的坐標，三角形的面積公式進行解答；
（3）點M是沿著對稱軸直線x=2向下平移的，可先求出直線AC的解析式，將x=2代入求出點M在向下平移時與AC、AB相交時y的值，即可得到m的取值范圍；．

解答 解：（1）把點A（5，3），點C（0，8）代入二次函數(shù)y=-x²+bx+c，得
$\left\{\begin{array}{l}{-25+5b+c=3}\\{c=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{c=8}\end{array}\right.$，
∴二次函數(shù)解析式為y=-x²+4x+8，配方得y=-（x-2）²+12
∴點M的坐標為（2，12）；

（2）由（1）知，拋物線的對稱軸是x=2．
∵A（5，3），AB∥x軸，
∴AB=6，D（0，3）
∵C（0，8），
∴CD=5，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$×6×5=15，
即△ABC的面積=15；

（3）設直線AC解析式為y=kx+b，把點A（5，3），C（0，8）代入$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=3}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-x+8，對稱軸直線x=2與△ABC兩邊分別交于點E、點F，
把x=2代入直線AC解析式y(tǒng)=-x+8，
解得y=6，則點E坐標為（2，6），點F坐標為（2，3）
∴3＜12-m＜6，解得6＜m＜9．

點評 此題主要考查了待定系數(shù)法，三角形面積的計算方法，解本題的關鍵是確定出拋物線解析式．