Question

19．在平面直角坐標系中，已知點 A（3，0），B（0，4），將△BOA繞點A按順時針方向旋轉得△CDA，使點B在直線CD上，連接OD交AB于點M，直線CD的解析式為y=-$\frac{7}{24}$x+4．

Answer 1

分析 首先證明OD⊥AB，求出直線OD解析式，與直線AB解析式聯(lián)立求出M坐標，確定出D坐標，設直線CD解析式為y=mx+n，把B與D坐標代入求出m與n的值，即可確定出解析式．

解答 解：∵△BOA繞點A按順時針方向旋轉得△CDA，
∴△BOA≌△CDA，
∴AB=AC，OA=AD，
∵B、D、C共線，AD⊥BC，
∴BD=CD=OB，
∵OA=AD，BO=CD=BD，
∴OD⊥AB，
設直線AB解析式為y=kx+b，
把A與B坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AB解析式為y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴直線OD解析式為y=$\frac{3}{4}$x，
聯(lián)立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+4}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{48}{25}}\\{y=\frac{36}{25}}\end{array}\right.$，即M（$\frac{48}{25}$，$\frac{36}{25}$），
∵M為線段OD的中點，
∴D（$\frac{96}{25}$，$\frac{72}{25}$），
設直線CD解析式為y=mx+n，
把B與D坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{96}{25}m+n=\frac{72}{25}}\\{n=4}\end{array}\right.$，
解得：m=-$\frac{7}{24}$，n=4，
則直線CD解析式為y=-$\frac{7}{24}$x+4．
故答案為：y=-$\frac{7}{24}x+4$．

點評 此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與坐標軸的交點，兩直線的交點坐標，坐標與圖形性質(zhì)，以及旋轉的性質(zhì)，得出B，D，C三點共線是解本題的關鍵．