Question

完成下列證明：
當(dāng)p₁•p₂=2（q₁+q₂）時，求證：方程x²+p₁x+q₁=0和方程x²+p₂x+q₂=0中，至少有一個方程有實數(shù)根．
證明：假設(shè)

 

，那么△₁=p12-4q₁

 

0，△2=

p

2 2

-4q2

 

0．
∴p12

 

4q₁，

p

2 2

 

4q₂，
∴p12+

p

2 2

 

4（q₁+q₂）

 

2p₁p₂，
∴(p1-p2)2

 

0，這與(p1-p2)2

 

0相矛盾．
∴假設(shè)

 

不成立，故所求證的結(jié)論正確．

Answer 1

考點：反證法

專題：

分析：至少有一個方程有實根的對立面是兩個方程都沒有根，由于正面解決此問題分類較多，而其對立面情況單一，故求解此類問題一般先假設(shè)所有方程都有實數(shù)根，然后由根的判別式解得方程都沒有實數(shù)根得(p1-p2)2 的取值范圍，進而得出矛盾，原命題正確．

解答：證明：假設(shè)方程x²+p₁x+q₁=0和方程x²+p₂x+q₂=0中都沒有實數(shù)根，
那么△₁=p12-4q₁＜0，△2=

p

2 2

-4q2＜0．
∴p12＜4q₁，

p

2 2

＜4q₂，
∴p12+

p

2 2

＜4（q₁+q₂）＜2p₁p₂，
∴(p1-p2)2＜0，這與(p1-p2)2＜0相矛盾．
∴假設(shè)方程x²+p₁x+q₁=0和方程x²+p₂x+q₂=0中都沒有實數(shù)根不成立，故所求證的結(jié)論正確．

點評：本題考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．