Question

10．如圖，△ABC三邊上的半圓面積從小到大依次記為S₁，S₂，S₃，若S₁+S₂=S₃，求證：△ABC是直角三角形．

Answer 1

分析 由S₁+S₂=S₃，根據(jù)圓的面積公式得出$\frac{1}{8}$πAC²+$\frac{1}{8}$πBC²=$\frac{1}{8}$πAB²，即AC²+BC²=AB²，根據(jù)勾股定理的逆定理即可證明△ABC是直角三角形．

解答 證明：∵S₁+S₂=S₃，S₁=$\frac{1}{2}$π（$\frac{1}{2}$AC）²=$\frac{1}{8}$πAC²，同理S₂=$\frac{1}{8}$πBC²，S₃=$\frac{1}{8}$πAB²，
∴$\frac{1}{8}$πAC²+$\frac{1}{8}$πBC²=$\frac{1}{8}$πAB²，
即AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形．

點(diǎn)評 本題考查了勾股定理的逆定理和圓的面積的應(yīng)用，關(guān)鍵是推出$\frac{1}{8}$πAC²+$\frac{1}{8}$πBC²=$\frac{1}{8}$πAB²，注意：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a²+b²=c²，那么這個三角形就是直角三角形．