Question

5．如圖，AD和BE是△ABC的角平分線且交于點O，連接OC，現(xiàn)有以下論斷：
①OC平分∠ACB；②∠AOC=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC；③OD⊥BC；④OA=OB=OC；⑤∠AOE+∠DCO=90°
其中正確的有（　�。﹤�．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 根據(jù)角平分線的定義判斷出OC是∠ACB的平分線，判斷出①正確；根據(jù)角平分線的定義表示出∠OAC+∠OCA，再根據(jù)三角形的內角和定理列式整理即可得到∠AOC=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC，判斷出②正確；再判斷出③④錯誤，根據(jù)三角形的內角和定理和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和求出∠AOE+∠DCO=90°，判斷出⑤正確．

解答 解：∵AD和BE是△ABC的角平分線且交于點O，
∴點O是△ABC的角平分線的交點，
∴OC平分∠ACB，故①正確；
由角平分線的定義，∠OAC+∠OCA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA）=$\frac{1}{2}$（180°-∠ABC）=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC，
在△OAC中，∠AOC=180°-（90°-$\frac{1}{2}$∠ABC）=90°+$\frac{1}{2}$∠ABC，故②正確；
只有AB=AC時，OD⊥BC，故③錯誤；
△ABC是等邊三角形時，OA=OB=OC，故④錯誤；
由三角形的外角性質得，∠AOE=∠OAB+∠OBA=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC），
∠AOE+∠DCO=$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠ABC）+$\frac{1}{2}$∠ACB=90°，故⑤正確；
綜上所述，正確的結論有①②⑤共3個．
故選B．

點評 本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，三角形的角平分線的定義，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記各性質是解題的關鍵．