Question

2．已知二次函數(shù)y=x²-2mx+m²-1（m≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）該拋物線與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，求C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PC+PD最短？若P點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)（1，0）代入y=x²-2mx+m²-1，解方程求出m的值即可；
（2）令x=0，得y=3，即可得出C點(diǎn)坐標(biāo)．將拋物線解析式配方成頂點(diǎn)式，即可得出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）由兩點(diǎn)之間線段最短知PC+PD≥CD，得出當(dāng)C，P，D三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PD最短．由待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，即可求出點(diǎn)P坐標(biāo)．

解答 解：（1）把點(diǎn)（1，0）代入y=x²-2mx+m²-1，
得：1²-2m+m²-1=0，
解得：m=2，或m=0（不合題意，舍去），
∴m=2，
∴二次函數(shù)的解析式為y=x²-4x+3；
（2）令x=0，得y=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．
將y=x²-4x+3配方得：y=（x-2）²-1，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）．
（3）存在；點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1.5，0）．理由如下：
由兩點(diǎn)之間線段最短知PC+PD≥CD，
∴當(dāng)C，P，D三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PD最短．
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{2k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：k=-2，b=3，
直線CD的解析式為：y=-2x+3，
當(dāng)y=0時(shí)，x=1.5，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1.5，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了二次函數(shù)解析式的求法、一次函數(shù)解析式的求法、拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線與y軸的交點(diǎn)、最短線段問(wèn)題等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，確定二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．