Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知拋物線y=ax²-2x-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C，過點(diǎn)C的直線y=x+b與x軸交于B點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)B作BC的垂線交拋物線于點(diǎn)E，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）問的條件下，點(diǎn)P在直線BC下方的拋物線上，直線EP交直線BC于點(diǎn)F，當(dāng)S_△ECF=5S_△CPF時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得C、B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，可得AD與DE的關(guān)系，根據(jù)解方程，可得答案；
（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得$\frac{EG}{GH}$=$\frac{EF}{FP}$=$\frac{5}{1}$，根據(jù)解方程，可用a表示P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)P在拋物線的圖象上，可得關(guān)于a的方程，把a(bǔ)的值代入P點(diǎn)坐標(biāo)，可得答案．

解答 解：（1）拋物線y=ax²-2x-3當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，即C（0，-3），
將C代入直線y=x+b，得b=-3，即直線的解析式為y=x-3，
當(dāng)y=0時(shí)，x-3=0，解得x=3，即B點(diǎn)坐標(biāo)（3，0）．
將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式，得
9a-6-3=0，
解得a=1，
拋物線的解析式為y=x²-2x-3；
（2）如圖1：
，
設(shè)E點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m²-2m-3），
過E作ED⊥x軸于D點(diǎn)，OB=OC，∠OBC=45°．
∵BE⊥BC，
∴∠EBD=45°，
BD=ED，即3-m=m²-2m-3，
解得m=-2，m=3（不符合題意的解要舍去），
m²-2m-3=（-2）²-2×（-2）-3=5，
即E（-2，5）
（3）如圖2：
，
過F作FG⊥ED于G點(diǎn)，過P作PH⊥ED于H，PH∥CF，
△EGF∽△EHP，
$\frac{EF}{FP}$=$\frac{EG}{GH}$=$\frac{FG}{PH-FG}$．
設(shè)F（a，a-3），S_△ECF=5S_△CPF時(shí)，$\frac{EF}{FP}$=$\frac{5}{1}$．
EG=5-（a-3）=8-a，GH=a-3-y，
$\frac{EG}{GH}$=$\frac{EF}{FP}$=$\frac{5}{1}$，即$\frac{8-a}{a-3-y}$=$\frac{5}{1}$，
解得y=$\frac{6a-23}{5}$，
同理可得，x=$\frac{6a+2}{5}$，即P（$\frac{6a+2}{5}$，$\frac{6a-23}{5}$），
將P代入拋物線的解析式，得$\frac{6a-23}{5}$=（$\frac{6a+2}{5}$）²-2×$\frac{6a+2}{5}$-3，
化簡(jiǎn)，得6a²-11a+4=0，
解得a=$\frac{4}{3}$或a=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)a=$\frac{4}{3}$時(shí)，x=$\frac{6×\frac{4}{3}+2}{5}$=2，
當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時(shí)，x=$\frac{6×\frac{1}{2}+2}{5}$=1．
綜上所述：點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2或1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）利用等腰直角三角形的判定與性質(zhì)得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵；（3）利用了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)得出P點(diǎn)坐標(biāo)用a表示出來是解題關(guān)鍵．