Question

11．已知m，n為整數(shù)，給出如下三個(gè)關(guān)于x方程：
①x²+（6-m）x+7-n=0   ②x²-mx+3-n=0   ③x²+（4-m）x+5-n=0
若方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，方程②③有且僅有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求（m-n）²⁰¹³的值．

Answer 1

分析 由②③有且僅有一個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分②有實(shí)數(shù)根，③無實(shí)數(shù)根，③有實(shí)數(shù)根，②無實(shí)數(shù)根兩種情況，三個(gè)方程根的判別式聯(lián)立不等式組求得m、n的值，代入得出答案即可．

解答 解：依題意得$\left\{\begin{array}{l}{（6-m）^2}-4（7-n）=0…（1）\\{m^2}-4（3-n）＞0…（2）\\{（4-m）^2}-4（5-n）≤0…（3）\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{（6-m）^2}-4（7-n）=0…（1）\\{m^2}-4（3-n）≤0…（2）\\{（4-m）^2}-4（5-n）＞0…（3）\end{array}\right.$，
由（1）得4n=-m²+12m-8代入（2）、（3）得$\frac{5}{3}＜m≤3$或無解，
又m，n為整數(shù)，
則m=2或m=3
當(dāng)m=2時(shí)，n=3；當(dāng)m=3，$n=\frac{19}{4}$（舍）
則m=2，n=3時(shí)，（m-n）²⁰¹³=-1．

點(diǎn)評 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式△=b²-4ac．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．